7. *Формула полного разложения определителя

Выразим формулу, выражающую определитель n-го порядка непосредственно через его элементы (минуя миноры).

Будем называть перестановкой чисел 1, 2,…, n эти числа, записанные в каком-либо определённом порядке. Например, из чисел 1, 2 можно образовать две перестановки: 1,2 и 2,1. Произвольную перестановку чисел 1, …, n будем обозначать i₁, …, i_n.

Будем говорить, что число i_k виновно в нарушении порядка (или образует беспорядок) в перестановке i₁, …, i_n, если оно стоит левее меньшего числа. Например, при n=4 в перестановке 2, 4, 3, 1 числа 2 и 3 виновны каждое в одном нарушении порядка, число 4 – в двух. Итак, общее число нарушений порядка в этой перестановке равно четырём. Число нарушений порядка в перестановке i₁, …, i_n обозначим следующим N(i₁, …, i_n). (Более подробное изложение теории подстановок см. в дополнении 2).

Перестановка i₁, …, i_n называется чётной, если N(i₁, …, i_n) – чётное число, в противном случае – нечётной.

Теорема 2.7 (формула полного разложения определителя по элементам матрицы) Имеет место следующая формула:

. (2.14)

Сумма в правой части равенства берётся по перестановкам. Это означает, что каждое чисел 1, …, n соответствует слагаемое. Слагаемое, соответствующее перестановке i₁, …, i_n составляют так: берут элемент из первой строки и i₁-го столбца, элемент из второй строки и i₂-го столбца и т.д. и перемножают их. В результате в произведение входит по одному и только одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Произведения складываются со знаками, определяемыми чётностями соответствующих перестановок.

Доказательство. Формулу (2.14) докажем методом полной индукции. Пусть n=2 и дана матрица

.

Двум перестановкам (1,2) и (2,1) соответствуют два слагаемых и . Их сумма равна , т.е. как раз определителю данной матрицы.

Допустим, что формула верна для матриц порядка n–1, докажем её для произвольной матрицы A порядка n. Определитель определяется формулой

. (2.15)

В k-е слагаемое этой формулы входит множитель M_1k. По предположению индукции

;

здесь все номера отличны от k, а первые индексы у сомножителей равны 2, …, n, т.к., сохраняя старые обозначения для элементов матрицы A, мы должны учесть, что в матрицу не входят первая строка и k-й столбец.

Теперь в k-м слагаемом в формуле (2.15) можно внести множитель под знак суммы и записать это слагаемое так:

.

Числа k, составляют перестановку чисел 1, …, n, причём N(k, i₁, …, i_n–1) = N(i₁, …, i_n–1)+k–1, т.к. правее k стоит ровно k–1 чисел, меньших k. Следовательно, N(k, i₁, …, i_n–1) имеет ту же чётность, что N(i₁, …, i_n–1)+k–1, и мы имеем

.

В правой части этого выражения собраны все те члены из суммы (2.14), которые соответствую перестановкам, имеющим k на первом месте. В сумму (2.15) входят слагаемые для любого k, и потому сумма (2.15) содержит все члены суммы (2.14) и, конечно, не содержит никаких других членов. Формула (2.14) доказана. 

В заключении заметим, что в большинстве курсов линейной алгебры формула (2.14) положена в основу понятия определителя n-го порядка (см. дополнения 2 и 3).