Дополнение 4 к главе 2. Теорема Лапласа

В этом дополнении установим замечательную формулу, обобщающую формулу разложения определителя n-го порядка по какой-либо его строке. С этой целью введём в рассмотрение миноры матрицы n-го порядка двух типов.

Пусть в квадратной матрице n-го порядка указаны произвольно kn различных строк и столько же различных столбцов. Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k; её определитель называется минором k-го порядка данной матрицы и обозначается через

,

где i₁, i₂, …, i_k – номера выделенных строк, а j₁, j₂, …, j_k – номера выделенных столбцов.

Если зачеркнуть в исходной матрице строки и столбцы, в которых лежит минор M, то оставшиеся элементы снова образуют квадратную матрицу порядка n–k; её определитель называется дополнительным минором по отношению к минору M и обозначается символом

,

где индексы указывают номера вычеркнутых строк и столбцов. В частности, если исходный минор имеет порядок 1, т.е. совпадает с некоторым элементом a_ij исходной матрицы, то дополнительный минор совпадает с минором M_ij этого элемента.

Алгебраическим дополнением минора называется его дополнительный минор, умноженный

.

Имеет место следующая теорема, известная под названием теоремы Лапласа.

Теорема 2.8 (теорема Лапласа). Выберем k строк с номерами i₁, …, i_k и составим произведения всех миноров, расположенных в выбранных строках, на их алгебраические дополнения. Определитель рассматриваемой матрицы равен сумме всех составленных произведений:

. (2.29)

 Доказательство см., например, Курош (§6), Ильин, Позняк (п. 1.2.3). 

Теорема Лапласа позволяет произведение двух определителей любого порядка представить в виде одного определителя. Например,

.

С помощью теоремы Лапласа доказывается также, что определитель произведения двух матриц n-го порядка равно произведению двух определителей этих матриц

.

Пример 2.20. Вычислить определители, используя теорему Лапласа:

а) , б) .

Решение. а) В этом определителе выделим вторую и третью строку и разложим определитель по теореме Лапласа применительно к этим строкам. Тогда получим

б) Разлагая определитель по первому и третьему столбцам, содержащим удачно расположенные нули, получим:



Вопросы для самопроверки

1. Что такое определитель?

2. Как вычисляются определители 2-го порядка?

3. Доказать, что для равенства нулю определителя 2-го порядка необходимо и достаточно, чтобы его строки были пропорциональны. То же верно и для столбцов.

4. Как решаются системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными при помощи определителей (по правилу Крамера)?

5. Как вычисляются определители 3-го порядка?

6. Доказать следующие свойства определителя 3-го порядка, используя его определение:

а) определитель матрицы не изменится при транспонировании матрицы;

б) если все элементы строки (столбца) матрицы умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число;

в) если переставить две строки (столбца) определителя, то он изменит знак; в частности, если две строки (столбца) определителя равны, то он равен нулю;

г) если одна строка (столбца) является линейной комбинацией остальных строк (столбца), то определитель равен нулю.

7. Как решаются системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными при помощи определителей (по правилу Крамера)?

8. Что такое дополнительный минор и алгебраическое дополнение?

9. Сформулируйте основную теорему теории определителей (теорему о разложении определителя по строке или столбцу).

10. Приведите формулу полного разложения определителя по элементам матрицы. Прокомментируйте эту формулу.

11. Как изменится определитель порядка n, если:

а) у всех его элементов изменить знак на противоположный;

б) его первый столбец поставить на последнее место, остальные сдвинуть влево, сохраняя их порядок;

в) к каждому столбцу, начиная со второго, прибавить следующий столбец;

г) из каждой строки, кроме последней, вычесть следующую строку, а из последней вычесть прежнюю первую строку;

д) его первый столбец поставить на последнее место, остальные столбцы сдвинуть влево, сохраняя из расположение;

е) его строки записать в обратном порядке.

12. Доказать, что определитель кососимметрической матрицы нечетного порядка равен 0.

13. Вычислить , если , .

14. Справедливо ли утверждение , даже если .

15. Числа 20604, 53227, 25755, 20927 и 289 делятся на 17. Доказать, что определитель

также делится на 17.

16. Какие преобразования матрицы называются элементарными? Как изменяется определитель матрицы при таких преобразованиях?

17. Пусть detA0. Доказать, что применяя к строкам матрицы элементарные преобразования, сохраняющие определитель, можно получить: а) треугольную матрицу; б) диагональную матрицу.

18. Сформулируйте теорему Крамера.

19. Что такое минор k-го порядка? Дополнительный минор?

20. Сформулируйте теорему Лапласа.