31

Глава 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ПРАВИЛО КРАМЕРА

2. Определители и правило крамера

   1. Определители второго порядка

Понятие определителя возникло также в связи с задачей решения систем линейных уравнений. Определитель (или детерминант) есть число, характеризующее квадратную матрицу A и обозначается обычно символами: detA, |A| или . Если матрица задана явно, в виде таблицы, то определитель обозначают, заключая таблицу в вертикальные линии.

Пусть дана матрица второго порядка

. (2.1)

Сопоставим этой матрице число |A|, вычисляемое по формуле

. (2.2)

Это число называют определителем матрицы (2.1), или определителем второго порядка.

Для записи определителя матрицы (2.1) можно употребить запись

. (2.3)

В этом случае можно говорить об элементах определителя, его строках и столбцах. Однако не следует смешивать понятия определителя и матрицы. Первое есть число, а второе – таблица. Когда говорится об элементах, строках и столбцах определителя, то имеется в виду элементы, строки и столбцы той матрицы, для которой вычисляется определитель.

Итак, определитель матрицы второго порядка вычисляется определению (2.2), которое иллюстрируется следующей схемой:

.

Таким образом,

Определитель матрицы второго порядка число, равное разности произведений элементов, расположенных на главной и побочной диагоналях:

(2.4)

Пример 2.1. Вычислить определители:

а) , б) . 

Следует еще раз подчеркнуть, что матрица есть таблица чисел, тогда как определитель есть число, определяемое через элементы квадратной матрицы.

Мы уже говорили, что понятие определителя возникло в связи с решением систем линейных уравнений. Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

(2.5)

и найдём её решение. Для этого первое уравнение умножим на a₂₂, а второе – на –a₁₂, и после почленного сложения этих выражений и приведения подобных членов получим соотношения

.

Аналогично, умножив первое уравнение системы (2.5) на a₂₁, а второе – на –a₁₁ и почленно сложив их, получим

.

Если определитель

не равен нулю, то единственное решение этой системы имеет вид

(2.6)

где определители

Получаются из определителя  заменой столбцов коэффициентов при соответствующих переменных на столбец правых частей системы (2.5).

Решение системы (2.5) в виде (2.6) называют формулами Крамера. Они выражают при 0 единственное решение системы (2.5) через её коэффициенты. В дальнейшем мы выведем формулы Крамера для систем линейных уравнений n-го порядка.

Пример 2.2. Решить систему линейных уравнений, используя формулы Крамера:

Решение. Найдем определители:

Отсюда



Историческая справка. Идея понятия «определителя» могла бы принадлежать Г. Лейбницу (1646-1716), если бы он развил и опубликовал свои идеи относительно определителей, к которым он пришел в 1693 г. Поэтому приоритет в разработке метода определителей решения систем линейных уравнений принадлежит Г. Крамеру (1704-1752), который опубликовал свои исследования по этой теме в 1750 г. Однако Крамер не построил полноценной теории определителей, к тому же ему не доставало удобных обозначений. Первое обширное исследование, посвященное определителям, было дано А. Вандермондом (1735-1796) в 1772 г. Он дал логическое изложение теории определителей и ввел правило разложения определителя с помощью миноров. Полное изложение теории определителей было дано лишь в 1812 г. Ж. Бине (1786-1856) и О. Коши (1789-1858). Термин «определитель» («детерминант») в современном его значении был введен Коши (ранее этот термин использовался К. Гауссом для обозначения дискриминанта квадратичной формы).