5. Транспонирование матриц

При транспонировании матрицы ее строки и столбцы меняются местами, т.е. 1-я строка становится 1-м столбцом, 2-я строка – 2-м столбцом и т.д. Транспонирования можно рассматривать как преобразование симметрии матрицы относительно её главной диагонали.

Транспонированная матрица по отношению к матрице А обозначается как А^Т (встречаются и другие обозначения: ^tA или А' ). Например:

Матрица В называется симметрической, если В^Т=В, матрица С называется кососимметрической, если С^Т=–С. И в том и в другом случае матрица должна быть квадратной. Элементы симметрической матрицы, расположенные на местах, симметричных относительно главной диагонали, равны между собой. Элементы кососимметрической матрицы, расположенные на местах, симметричных относительно главной диагонали, отличаются знаком, а диагональные – равны нулю.

Например,

Упражнение. Заметим, что любую матрицу А можно представить в виде суммы симметрической и кососимметрической матриц А=В+С, причем единственным образом. (Доказать самостоятельно).

Отметим ещё, что для операции транспонирования справедливы следующее свойства.

Свойство 1. .	Свойство 3. .
Свойство 2. .	Свойство 4. .

 Докажем свойство 4. Пусть матрицы A, B имеют размеры mn и nk, соответственно. Тогда

. 

Пример 1.3. Проверить равенство , если

, .

Решение. Находим

и

.

Как и следовало ожидать, свойство 4 для данных матриц выполняется. 

6. Степени квадратных матриц

Для любой квадратной матрицы A можно определить степень матрицы с натуральным показателем как произведение соответствующего числа одинаковых матриц:

.

В силу свойства ассоциативности произведения матриц безразлично, как в этом произведении расставлять скобки, поэтому матрица Aⁿ определена однозначно. Дополнительно полагают A⁰=E, где E – единичная матрица того же порядка, что и матрица A.

Степени матрицы обладают следующими очевидными свойствами:

а) , б) .

Пример 1.4. Найти A² и A³, если .

Решение. Находим

,

. 

Понятие степени матрицы позволяет определить ещё некоторые виды матриц.

Матрица I называется инволютивной, если I²=E. Матрица P называется идемпотентной, если P²=P.

Упражнение. Показать, что если матрица P идемпотентна, то I=2P–E инволютивна, и, наоборот, если I инволютивна, то идемпотентна.

Квадратная матрица называется нильпотентной, если некоторая её степень равна нулю. Наименьшее целое положительное число k, для которого A^k=0, называется показателем нильпотентности матрицы A.

Упражнение. Показать, что треугольная матрица тогда и только тогда нильпотентна, когда все элементы главной диагонали равны нулю, а показатель нильпотентности треугольной матрицы не превосходит её порядка.

Квадратная матрица называется периодической, если некоторая её степень равна единичной матрицей. Наименьшее целое положительное число k, для которого A^k=E, называется показателем периодичности матрицы A.

Используя понятие степени матрицы можно ввести понятие функции от матриц. Простейшими функциями являются многочлены n-го порядка:

.

Тогда многочленом n-го порядка от матрицы A называется выражение

. (1.5)

Пример 1.5. Найти значение многочлена f(x)=3x²–3x–2 от матрицы

Решение. Многочленом от матрицы A будет выражение

.

или

