Линейные операции над матрицами
Матрицы остались бы просто таблицами чисел, если ограничится только их описанием. Таблица чисел становится матрицей только тогда, когда над ними можно производить какие-либо операции. Наиболее просто вводятся линейные операции, под которыми понимаются сложение матриц и умножение матрицы на число.
При
умножении
матрицы на число,
каждый ее элемент умножается на это
число. То есть, произведением
матрицы
на
число
k
называется матрица
с элементами
.
Например,
.
В
частности, матрицу
называются противоположной
к матрице A
и обозначают (
).
Складывать
матрицы можно только одинаковых размеров.
Суммой
матриц
A
и B
одинакового размера называется матрица
C
того же размера, каждый элемент которой
равен сумме соответствующих элементов
матриц A
и B.
То есть, суммой
матриц
и
называется матрица
с элементами
.
Например,
.
Сумма матриц B и –A называется разностью матриц B и A и обозначается B–A.
Пример 1.1. Вычислить 2A–3B, если
Решение. Умножим каждый элемент матрицы А на 2, а матрицы В на 3:
После этого произведем операцию вычитания матриц, в результате получим
Операции сложения матриц и умножения матрицы на число, т.е. линейные операции, обладают следующими свойствами:
1.
|
5.
|
2.
|
6.
|
3.
|
7.
|
4.
|
8.
|
,
,
,
,
,
,
,
,где A, B, C – матрицы одних и тех же размеров, , – любые числа.
Данные свойства непосредственно следуют из определения линейных операций и свойств чисел.
Умножение матрицы на матрицу
Теперь необходимо ввести понятие умножения матрицы на матрицу. Можно, конечно, определить эту операцию умножения аналогично уже введенной операции сложения матриц. Но тогда матрицы по своим свойствам почти ничем не будут отличаться от чисел, т.е. это будет по существу громоздкое табличное обозначение чисел. Однако операция умножения для матриц вводится совершенно другим способом, что и отличает матрицу от таблицы чисел и делает ее наиболее важным понятием математики.
Рассмотрим сначала матрицу-строку А и матрицу-столбец В:
Существенно, что строка и столбец содержат одинаковое количество элементов!
Произведением строки А на столбец В называется число, равное сумме произведений элементов с одинаковыми номерами, т.е.
(1.1)
Пусть матрицы А и B таковы, что длина строк первой матрицы равна высоте столбцов второй.
Определение. Произведением матриц Аmp и Вpn называется матрица Сnm, любой элемент cij которой состоит из произведений i-й строки первой матрицы на j-й столбец второй матрицы, т.е.
.
(1.2)
Говорят, что при перемножении матриц действует правило: «строка умножается на столбец». Получение элемента cij схематично можно изобразить следующим образом:
Заметим, что не всякие матрицы можно перемножать.
Пример 1.2. Перемножить матрицы:
Свойства операции умножения матриц
Свойство 1. Умножение матриц, в общем случае, не коммутативно, т.е.
ABBA.
Если матрицы A и B имеют разные размеры, то это свойство очевидно, что хорошо иллюстрируется в рассмотренных раннее примерах. Квадратные матрицы, в общем случае, также не коммутативны. Например,
Однако среди квадратных матриц существуют такие, для которых выполняется соотношение AB=BA. Такие матрицы называются перестановочными (или коммутативными). Например, все диагональные матрицы одного и того же порядка перестановочны между собой; или такой пример
Отметим ещё одну особенность операции умножения матриц, отличающую матриц от чисел: произведение матриц может быть нулевой матрицей, хотя оба сомножителя и не являются нуль-матрицами. Например,
.
Свойство 2. Умножение матриц ассоциативно, т.е.
A(BC)=(AB)C.
Пусть матрицы A, B, C имеют размеры mn, nk, kl соответственно, то
Свойство 3. Умножение матриц дистрибутивно относительно сложения, т.е.
A(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC+BC.
Докажем второе равенство. Пусть матрицы A, B имеют размеры mn, а матрица C – размеры nk, то
Свойство
4.
Существует
такая квадратная матрица E,
что для любой квадратной матрицы такого
же порядка справедливо равенство
.
В
качестве матрицы E
можно взять единичную матрицу порядка
n.
То обстоятельство, что каждая квадратная
матрица не меняется при умножении на
единичную матрицу, представляет собой
важное свойство единичной матрицы,
которому она обязана своим названием.
Если бы какая-нибудь другая матрица
обладала бы этим же свойством, то мы
имели бы
и
,
откуда следовало бы
.
Таким образом, единичная
матрица существует, причем только одна.
Очевидно, что для нулевых квадратных матриц справедливо свойство.
Свойство
5.
.
Свойства 4 и 5 показывают, что единичная и нулевая матрицы аналогичны единице и нулю в произведении чисел.
Легко может быть доказано следующее свойство умножения матриц
Свойство 6. Если произведение AB имеет смысл, то
для любых чисел k.
Отметим, что введенная операция умножения матрицы на матрицу позволяет записать любую систему линейных уравнений в матричном виде:
.