Матрицы и действия над ними
Понятие матрицы
Определение. Матрица – это совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы.
Для записи матрицы применяют либо круглые скобки ( ), либо сдвоенные линии ║ ║, либо квадратные скобки [ ]. Например,
,
,
.
Мы, в дальнейшем, будем использовать в основном круглые скобки.
В общем виде, матрицы записываются следующим образом
Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы и обозначаются символом
Каждый элемент имеет два индекса, первый из которых указывает на номер строки, второй – номер столбца.
Чтобы задать матрицу, нужно описать все ее элементы. Однако при использовании матриц, не удобно при каждом ее упоминании полностью выписывать всю матрицу. В этом случае используют сокращенные обозначения
(aij) = ║aij║ = [aij],
или обозначают матрицу большой буквой, например A. Элемент матрицы A, стоящий в i-й строке и j-м столбце, также записывают в виде [A]ij, что удобно при проведении доказательств.
Если матрица имеет m и n столбцов, то говорят, что она имеет размеры (mn). Если необходимо указать размеры матрицы, т.е. что она имеет m строк и n столбцов, то пишут Amn.
Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и равны их элементы, стоящие на одинаковых местах. Например, пусть
,
,
тогда
две матрицы будут равны, пишут
,
если
для всех i
и j.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой (или нуль-матрицей). Обозначаются нулевые матрицы символом O. Например,
,
.
Вопрос. Сколько существует нулевых матриц?
Если число строк матрицы равно числу ее столбцов (m=n), то такая матрица называется квадратной матрицей n-го порядка. Например, матрица второго порядка имеет вид
.
Матрица
первого порядка
называется матрицей-числом.
Часто эту матрицу отождествляют с самим
числом a11.
Совокупность
элементов квадратной матрицы:
,
расположенных на диагонали, идущей от
левого верхнего угла, называется главной
диагональю:
.
Вторая диагональ квадратной матрицы называется побочной. Отметим, что понятие главной диагонали распространяется и на прямоугольные матрицы.
Элементы, стоящие на главной диагонали, называются главными диагональными элементами. Их сумма называется следом и обозначается SpA или TrA.
Матрица, состоящая лишь из одной строки, называется матрицей-строкой:
.
Матрица, состоящая лишь из одного столбца, называется матрицей-столбцом:
.
Матрицы-строки и матрицы-столбцы называют также вектор-строками и вектор-столбцами, соответственно.
Квадратная матрица, у которой отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называется диагональной и записывается так:
Если
в диагональной матрице
,
то она называется скалярной.
Если в диагональной матрице порядка n на диагонали стоят единицы, то её называют единичной и обычно обозначают E или I. Выпишем, например, единичные матрицы 2-го и 3-го порядков:
.
Иногда для записи элементов единичной матрицы используется символ Кронекера:
Квадратная матрица, у которой отличны от нуля лишь элементы, расположенные выше или ниже главной диагонали, называется треугольной. При этом матрица
называется верхней треугольной, а матрица
называется нижней треугольной.
Прямоугольные матрицы вида
,
у которых элементы, расположенные под главной диагональю равны нулю, называют верхними трапециевидными.
Важную роль в дальнейшем изложении играют ступенчатые матрицы (матрицы ступенчатого вида). Так называют матрицу размера mn, если для любой её строки выполнено следующее условие: под первым слева ненулевым элементом строки и предшествующими ему нулевыми элементами строки все элементы матрицы равны нулю. Например,
,
,
.
Историческая справка. Впервые понятие матрицы как математического объекта появилось в работах У. Гамильтона (1805-1856), А. Кэли (1821-1895) и Дж. Сильвестра (1814-1897) в середине XIX в. Основы теории матриц были созданы К. Вейерштрассом (1815-1897), К. Жорданом (1838-1922) и Г. Фробениусом (1849-1917) во второй половине XIX в. и начале XX в.