7. Топологические матрицы графа и их свойства ( матрица соединений, матрица главных сечений, матрица главных контуров)

 Узловая матрица (матрица соединений) – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа. Строки этой матрицы соответствуют узлам, а столбцы – ветвям схемы. Пусть число узлов m=4 и число ветвей n=6. Тогда запишем матрицу АН , принимая, что элемент матрицы (i –номер строки; j –номер столбца) равен 1, если ветвь j соединена с узлом i и ориентирована от него, -1, если ориентирована к нему, и 0, если ветвь j не соединена с узлом i .

.

Матрица сечений – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для сечений. Ее строки соответствуют сечениям, а столбцы – ветвям графа. Матрица Q , составленная для главных сечений, называется матрицей главных сечений. Число строк матрицы Q равно числу независимых сечений. Элемент qij матрицы Q равен 1, если ветвь j входит в i-е сечение и ориентирована согласно направлению сечения (за положительное направление сечения принимают направление ветви дерева, входящей в него), -1, если ориентирована противоположно направлению сечения, и 0, если ветвь j не входит в i-е сечение. Для рис.1:

.

Контурная матрица (матрица контуров) – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа. Строки контурной матрицы В соответствуют контурам, а столбцы – ветвям схемы. Элемент bij матрицы В равен 1, если ветвь j входит в контур i и ее ориентация совпадает с направлением обхода контура, -1, если не совпадает с направлением обхода контура, и 0, если ветвь j не входит в контур i. Матрицу В, записанную для главных контуров, называют матрицей главных контуров. При этом за направление обхода контура принимают направление ветви связи этого контура. Выделив в нашем примере (см. рис. 5) дерево, образуемое ветвями 2-1-4, запишем коэффициенты для матрицы В.

.

Рис.1

7. Первый и второй законы Кирхгофа в матричной форме

Узловая матрица - это таблица коэффициентов уравнения, составленных по первому закону Кирхгофа. Строки соответствуют узлам, а столбцы - ветвям схемы. Правило знака: если ток в ветви входит в узел, то ставится -1, если ток выходит из узла, то ставится 1, если узел не имеет отношение к данной ветви, то ставится 0.

[A]∙[İ]=[0], где [İ]=[İ1 İ2 İ3 İ4 İ5 İ6]T – столбцовая матрица токов в ветвях;

Контурная матрица – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа. Строки матрицы соответствуют контурам, а столбцы – ветвям схемы. Правило знака: если ток в ветви совпадает с направлением обхода контура, то ставится 1; если ток в ветви имеет направление, противоположное направлению обхода контура, то ставится -1; если ветвь не входит в контур, то 0. На основании контурной матрицы можно записать уравнение по 2 закону Кирхгофа: [B]∙[Ů]=[0], где [Ů]=[ Ů1 Ů2 Ů3 Ů4 Ů5 Ů6]T – столбцовая матрица напряжений ветвей схемы

7. М етод контурных токов в матричной форме.

Токи в ветвях связи называются контурными токами, и каждый из них рассматривается как непрерывно циркулирующий в своем главном контуре.

İ4= İ11;İ5= İ22; İ6= İ33

При этом ветви дерева являются общими для нескольких контуров, а токи в них определяются как алгебраические суммы соответствующих контурных: İ1= İ11- İ33; İ2= İ22- İ11; İ3= İ33- İ22.

После выражения токов ветвей дерева, подстановки их в уравнения второго закона Кирхгофа и группировки слагаемых с одноименными контурными токами получим систему уравнений в общем виде:

Э та система может быть записана в виде матричного уравнения [Zk][ İk]=[Ėk], где [ İk]- столбцовая матрица неизвестных контурных токов. Далее вычисляется матрица сопротивлений [Zk]=[B][Z][B]T, затем находят значение ЭДС, при этом необходимо учитывать и источники тока [Ėk]=[B][Ė]-[B][Z][ İ].

Решением системы являются контурные токи, через которые затем определяются токи в обобщенных ветвях: [İ]=[B]T[İk].