7. Векторная диаграмма. Правила её построения.

Совокупность радиус-векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения, токи и т. д., называется векторной диаграммой. Векторные диаграммы наглядно иллюстрируют ход решения задачи. При точном построении векторов можно непосредственно из диаграммы определить амплитуды и фазы искомых величин. Приближенное (качественное) построение диаграмм при аналитическом решении служит надежным контролем корректности хода решения и позволяет легко определить квадрант, в котором находятся определяемые векторы.

При построении векторных диаграмм для цепей с последовательным соединением элементов за базовый (отправной) вектор следует принимать вектор тока, а к нему под соответствующими углами подстраивать векторы напряжений на отдельных элементах. Для цепей с параллельным соединением элементов за базовый (отправной) вектор следует принять вектор напряжения, ориентируя относительно него векторы токов в параллельных ветвях.

В качестве примера построим векторную диаграмму токов для схемы (см. рис. 1).

Параметры схемы:

             

П ри данных параметрах и заданном напряжении на входе схемы    найденные значения токов равны:   ;   ;   .

При построении векторной диаграммы зададимся масштабами токов и напряжений (см. рис. 2). Векторную диаграмму можно строить, имея запись комплекса в показательной форме, т.е. по значениям модуля и фазы . Однако на практике удобнее проводить построения, используя алгебраическую форму записи, поскольку при этом вещественная и мнимая составляющие комплексной величины непосредственно откладываются на соответствующих осях комплексной плоскости, определяя положение точки на ней.

Построение векторной диаграммы токов осуществляется непосредственно на основании известных значений их комплексов.

 

7. Комплекс мгновенного значения. Комплексная амплитуда. Комплекс действующего значения.

Возьмём сигнал, описанный уравнением   , в комплексном виде он будет записан как:

 

где   - мнимая единица.

Это выражение носит название комплекса мгновенного значения. Из курса математики известно, что функцию данного вида можно представить как 

 

Выражение типа   называют фазовым множителем. Он, при   =const – линейно возрастает и отображает вращение вектора на плоскости.

Выражение вида   является комплексной амплитудой. Как видно, комплексная амплитуда есть комплексное число, модуль которого равен амплитуде синусоидальной величины, а аргумент равен начальной фазе. Как и всякое комплексное число комплексная амплитуда может быть представлена на комплексной плоскости вектором с длиной A_m и углом поворота относительно вещественной оси  . На рис. 3 представлено изображение вектора комплексной амплитуды.

 

Рис. 3.

Кроме комплекса амплитудных значений электрический сигнал может быть представлен в виде комплекса действующего значения:

 или   .

7. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме

Введение понятий комплексного сопротивления и комплексной проводимости означает, по-существу, введение закона Ома в комплексной форме для установившегося синусоидального режима

 или  .

Комплексная амплитуда напряжения на зажимах пассивного двухполюсника равна комплексной амплитуде тока, умноженной на комплексное сопротивление двухполюсника.

Пример 1. Через зажимы двухполюсника с комплексным сопротивлением Z=40e^j30 Ом протекает синусоидальный ток i =3 Sin (314 t + 15^o) A. Определить напряжение u(t) на зажимах двухпо-люсника.

Решение.

Находя комплексную амплитуду тока  =3е ^j15 и зная комплексное сопротивление двухполюсника, на основании закона Ома в комплексной форме определяем комплексную амплитуду напряжения

=3е ^j15ґ 40e^j30=120 е ^j45 В.

Следовательно, мгновенное напряжение равно u=120 Sin (314 t + 45^o), B.

Первый закон Кирхгофа в комплексной форме : Сумма комплексных амплитуд токов ветвей, сходящихся в узле равна нулю, т.е.

.

Поскольку каждое слагаемое в представленном выражении есть вектор, то результат есть сумма векторов. Это обстоятельсво позволяет контролировать аналитические расчеты наглядными графическими построениями-векторными диаграммами.

Пример 2: В узле ЭЦ сходятся 3 ветви с синусоидальными токам одной частоты (рис.3.3,а).

Мгновенные значения токов i ₂ и i ₃ определяются выражениями i₂= 100 Sin( 100t-45^o) и i₃= 50 Sin( 100t+30^o). Требуется определить ток i₁, пользуясь методом комплексных амплитуд.

Решение. На основании первого закона Кирхгофа в комплексной форме находим

I'_m1=I'_m2 -I'_m3 , где I'_m2=100e^-j45 , I'_m3 =50e^j30 .

Тогда

I'_m1= 100e^-j45 - 50e^j30 = 100Cos45^o - j100Sin45^o -50Cos30^o -j50Sin30^o=

=27.4-j97.5= = 101e^-j74A.

Построив вектора токов на комплексной плоскости (рис.3.3,б), убеждаемся, что сумма их действительно равна 0.

Переходя от комплекса к мгновенному значению, получим i₁= 101 Sin( 100t-74^o), А.

Второй закон Кирхгофа в комплексной форме - в установившемся синусоидальном режиме сумма комплексных амплитуд ЭДС источников напряжений в контуре равна сумме комплексных амплитуд падений напряжений на элементах контура. Если контур содержит N источников напряжений и L пассивных элементов, то математически это положение формулируется следующим образом

.

Пример 3. Известны мгновенные значения напряжений на элементах контура ( рис.3.4,а) u₁= 10 Sin( 100t-45^o) B, u₂= 25 Sin( 100t+30^o)B, u₃= 5 Sin( 100t+60^o)B. Требуется определить мгновенное значение ЭДС источника напряжения.

Решение. На основании второго закона Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и ЭДС находим e= u₁+ u₂+ u₃.

Переходя к комплексам, получим  , где

.

Следовательно,

=

10Cos45^o-j10Sin45^o+25Cos30^o+j25Sin30^o +5Cos60^o + j5Sin60^o =

=30.75+j9.75= = 32.3e^j18в.

Построив вектора напряжений на комплексной плоскости (рис.3.4,б ) убеждаемся, что сумма их действительно равна вектору ЭДС. Переходя от комплекса к мгновенному значению, получим e= 32.3 Sin( 100t+18^o), В.