Зависимость кинематических величин времени

2. Кинематические характеристики вращательного движения твердого тела

Вращательное движение твёрдого тела,

1) вращательное движение вокруг оси — движение твёрдого тела, при котором какие-нибудь две его точки А. и В остаются всё время неподвижными (см. рис.). Прямая AB, проходящая через эти точки, называется осью вращения; все точки тела при В. д. описывают окружности в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения, и с центрами, лежащими на этой оси. Тело, совершающее В. д., имеет одну степень свободы и его положение определяется углом φ между проведёнными через ось вращения неподвижной полуплоскостью и полуплоскостью, жёстко связанной с телом и вращающейся вместе с ним. Основные кинематические характеристики В. д. тела — его угловая скорость ω и угловое ускорение ε. Для любой точки тела, отстоящей от оси на расстоянии h, линейная скорость v = hω, касательное ускорение w_τ = hω, нормальное ускорение w_n = hω² и полное ускорение

Основными динамическими характеристиками В. д. тела являются его кинетический момент относительно оси вращения K_z =I_zω (см. Момент количества движения) и кинетическая энергия Т = ¹/₂I_zω², где I_z — момент инерции тела относительно оси вращения. Закон вращения определяется из основного уравнения I_z ε = M_z, где M_z — вращающий момент (см. Момент силы).

2) Вращательное движение вокруг точки (или сферическое движение) — движение твёрдого тела, при котором какая-то одна его точка О остаётся неподвижной, а все другие точки движутся по поверхности сфер, имеющих центр в точке О. При таком В. д. тела любое его элементарное перемещение представляет собой элементарный поворот вокруг некоторой оси, проходящей через точку О и называется мгновенной осью вращения. Со временем эта ось, в отличие от неподвижной, непрерывно изменяет своё направление. В результате В. д. тела слагается из серии элементарных поворотов вокруг непрерывно меняющих своё направление мгновенных осей. Пример такого В. д. тела даёт движение гироскопа.

Момент инерции материальной точки относительно оси вращения - произведение массы этой точки на квадрат расстояния от оси.

При заданной массе тела момент инерции зависит как от распределения этой массы по объему тела, так и от положения и направления оси вращения.

Момент инерции твердого тела - это велина, характеризующая распределение массы в теле и являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении.

Формула момента инерции:

Единица момента инерции - килограмм-метр в квадрате.

Теорема Штейнера:

Момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции, сложенной с величиной m*(R*R), где R - расстояние между осями.

Угловое ускорение, которое тело приобретает под действием момента сил, прямо пропорционально результирующему моменту всех внешних сил, приложенных к телу, и обратно пропорциональна моменту инерции телаотносительно некоторой оси.

Кинетическая энергия вращательного движения — энергия тела, связанная с его вращением.

Основные кинематические характеристики вращательного движения тела — его угловая скорость ( ) и угловое ускорение. Основные динамические характеристики вращательного движения — момент импульсаотносительно оси вращения z:

и кинетическая энергия

где I_z — момент инерции тела относительно оси вращения.

Похожий пример можно найти при рассмотрении вращающейся молекулы с главными осями инерции I₁, I₂ и I₃. Вращательная энергия такой молекулы задана выражением

где ω₁, ω₂, и ω₃ — главные компоненты угловой скорости.

В общем случае, энергия при вращении с угловой скоростью   находится по формуле:

, где   — тензор инерции.

3. момент силы относительно точки оси. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Момент силы относительно точки

Если имеется материальная точка  , к которой приложена сила  , то момент силы относительно точки   равен векторному произведению радиус-вектора  , соединяющего точки   и  , на вектор силы  :

.

[править]Момент силы относительно оси

Моментом силы относительно оси называется момент проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.

[править]Единицы измерения

Момент силы измеряется в ньютон-метрах. 1 Н·м — момент силы, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м. Сила приложена к концу рычага и направлена перпендикулярно ему.

Основное уравнение (закон) динамики вращательного движения твердого тела

4. Момент импульса относительно неподвижной точки и момент импульса твердого тела.

Момент импульса материальной точки относительно точки O определяется векторным произведением , где   — радиус-вектор, проведенный из точки O,   — импульс материальной точки. Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси    равен проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки O данной оси. Значение момента импульса    не зависит от положения точки O на оси z.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц, из которых состоит тело относительно оси. Учитывая, что  , получим .

Если сумма моментов сил, действующих на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, равна нулю, то момент импульса сохраняется (закон сохранения момента импульса):  .

Производная момента импульса твердого тела по времени равна сумме моментов всех сил, действующих на тело: .