5. Гиперболический параболоид.

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в

некоторой прямоугольной системе координат, определяется уравнением

[pic] (9) [pic]

где p>0, q>0.

Уравнение (9) называется каноническим уравнением гиперболического

параболоида.

Рассмотрим сечение параболоида плоскостью Oxz (y=0). Получаем

уравнение

[pic] (10)

из которых следует, что в сечении получается парабола, направленная вверх,

симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. В сечениях

поверхности плоскостями, параллельными плоскости Oxz (y=h), получаются так

же направленные вверх параболы.

[pic]

рассмотрим сечение данного параболоида плоскостью Oyz (x=0).

Получаем уравнение

[pic]

из которых следует, что и в этом случае в сечении получается парабола, но

теперь направленная вниз, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в

начале координат. Рассмотрев сечения параболоида плоскостями, параллельными

плоскости Oyz (x=h), получим уравнения

[pic]

из которых следует, что при любом h в сечении получается парабола,

направленная вниз, а вершина её лежит на параболе, определённой уравнениями

(10).

Рассмотрим сечения параболоида плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy

. получим уравнения

[pic] или [pic]

из которых следует, что при h>0 в сечении получаются гиперболы,

пересекающие плоскость Oxy; при h<0 – гиперболы, пересекающие плоскости

Oyz; при h=0 – гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых

[pic] и [pic]

точка (0;0;0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его

параметрами.

6. Конус второго порядка.

Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой

прямоугольной системе координат определяется уравнением

[pic] (11)

Рассмотрим геометрические свойства конуса. В сечение этой поверхности

плоскостью Oxy (y=0) получаем линию

[pic]

распадающуюся на две пересекающиеся прямые

[pic] и [pic]

Аналогично, в сечении конуса плоскостью Oyz (x=0) также получаются две

пересекающиеся прямые

[pic] и [pic]

Рассмотрим сечения поверхности плоскостями z=h, параллельными плоскости

Oxy. Получим

[pic] или [pic]

из которых следует, что при h>0 и h<0 в сечениях получаются эллипсы с

полуосями [pic] . При увеличении абсолютной величины h полуоси a* и b*

также увеличиваются.

При h=0 линия пересечения поверхности с плоскостью z=h вырождается в точку

(0;0;0).

Введение в анализ.

1. Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Операции над последовательностями

На множестве всех последовательностей элементов множества Х можно определить арифметические и другие операции, если таковые определены на множествеХ . Такие операции обычно определяют естественным образом, т. е. поэлементно.

Пусть на множествеХ определенаН -арная операция :

Последовательности

Определение 1. Числовой последовательностью (в дальнейшем просто последовательностью) называется упорядоченное счетное множество чисел

{x1, x2, x3, ... }.

Обратите внимание на два момента.

1. В последовательности бесконечно много чисел. Если чисел конечное число – это не последовательность!

2. Все числа упорядочены, то есть расположены в определенном порядке.

В дальнейшем для последовательности часто будем использовать сокращенное обозначение {xn}.

Над последовательностями можно производить определенные операции. Рассмотрим некоторые из них.

1. Умножение последовательности на число.

Последовательность c×{xn} – это последовательность с элементами {c×xn}, то есть

c×{x1, x2, x3, ... }={c×x1, c×x2, c×x3, ... }.

2. Сложение и вычитание последовательностей.

{xn}±{yn}={xn±yn},

или, более подробно,

{x1, x2, x3, ... }±{y1, y2, y3, ... }={x1± y1, x2± y2, x3± y3, ... }.

3. Умножение последовательностей.

{xn}×{yn}={xn×yn}.

4. Деление последовательностей.

{xn}/{yn}={xn/yn}.

Естественно, предполагается, что в этом случае все yn¹0.

2. Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Пусть функция f(x) определена на (a, + ∞).

Число A называется пределом функции f(x) при x → + ∞ (обозначается A = lim

x → + ∞

f(x) ), если " ε > 0 $ N: " x > N Ю |f(x) − a| < ε.

Пусть функция f(x) определена на ( − ∞,a).

Число A называется пределом функции f(x) при x → − ∞ (обозначается A = lim

x → − ∞

f(x) }, если " ε > 0 $ N: " x < − N Ю |f(x) − a| < ε.

Если существуют пределы функции f(x) при x → + ∞ и при x → − ∞ и они равны одному и тому же числу A, то это число A называется пределом функции f(x) при x → ∞ {обозначается

A = lim

x → ∞

f(x) .

Теоремы о пределах последовательностей и правила их вычисления распространяются и на пределы функций в бесконечности.

3.Определение 8 (бесконечно малая функция). Функция называется бесконечно малой в точке a или при x® a, если

limx ® af(x) = 0

Пример 10.

f(x) = 1/x, x ® Ґ

f(x) = x2, x ® 0

f(x) = 1-cos x, x ® 0

Заметим, что если функция f(x) имеет предел в точке a, равный A, то функция a (x) = f(x)-A является бесконечно малой в точке a. То есть, если функция f(x) имеет предел A в точке a, то f(x) = A+a, где limx® aa (x) = 0.

Отметим некоторые свойства бесконечно малых функций.

Теорема 4 (свойства бесконечно малых функций).

Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая.

Произведение конечного числа бесконечно малых является бесконечно малой.

Доказательство. Докажем для примера первое утверждение теоремы для двух бесконечно малых.

Из того, что существует limx® aa(x) = 0, следует, что " e>0 $ d1(e)>0 такое, что " x: 0<|x-a|<d1 выполняется неравенство

|a(x)|< e/2. Аналогично, из существования предела limx® a b(x) = 0, следует " e>0 $ d2(e)>0 такое, что " x: 0<|x-a|<d2

выполняется неравенство |b(x)|< e/2. Тогда " x: 0<|x-a|<d = min{d1,d2} выполнятся оба неравенства одновременно, то есть

|a(x)+b(x)|Ј |a(x)|+|b(x)|<e.