13.4 Исследование функций

13.4.1 Монотонность и экстремумы. Напомним определение возрастающей функции:

f(x) – возрастающая  ( x₁  x₂  f(x₁)  f(x₂) ),

т. е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Если неравенства заменить на строгие, то получим определение строго возрастающей функции:

f(x) – строго возрастающая  ( x₁ < x₂  f(x₁) < f(x₂) ).

Аналогично:

f(x) – убывающая  ( x₁  x₂  f(x₁)  f(x₂) ),

f(x) – строго убывающая  ( x₁ < x₂  f(x₁) > f(x₂) ).

Теорема 10. Пусть функция f(x) дифференцируема на [a, b]. Тогда:

f(x) – возрастающая  f ′(x)  0 (x[a, b]),

f(x) – убывающая  f ′(x)  0 (x[a, b]).

Доказательство проведём для возрастающих функций.

«  ». По определению . Если x > 0, то f(x+x) – f(x)  0 (так как f(x) возрастающая) и значит . Если x < 0, то x + x < x и поэтому f(x+x) – f(x)  0. Следовательно, в любом случае . Переходя к пределу, получим: f ′(x)  0.

«  ». Возьмём x₁ < x₂  два числа на [a, b]. На отрезке [x_1, x₂] справедлива теорема Лагранжа:

f(x₂)  f(x₁)  f ′(c)(x₂x₁), где с[x_1, x₂].

Так как x₂  x₁ > 0, f ′(c)  0 (по условию), то f(x₂)  f(x₁)  0, т. е f(x₁)  f(x₂), что и требовалось.

Замечание. Для строго возрастающих функций аналогичная теорема справедлива только в одну сторону:

f ′(x) > 0 (x)  f(x) – строго возрастающая.

Доказательство – как и выше, с помощью теоремы Лагранжа. Обратное утверждение неверно: функция может строго возрастать, а её производная в некоторых точках быть равной нулю. Например, f(x)  x³ – строго возрастающая, но f ′(x)  3x²  0 при x  0.

Напомним: в разделе 13.1 было дано понятие локального экстремума (т. е. локального максимума или локального минимума) и доказана теорема Ферма, содержащая необходимое условие экстремума:

Если x₀ – точка локального экстремума, то f ′(x₀)  0 или f ′(x₀) не существует.

Пример функции f(x)  x³ показывает, что это условие не является достаточным. Точки, в которых производная равна 0 или не существует, будем называть критическими точками 1 рода. Иногда их называют «подозрительными на экстремум».

Рассмотрим достаточные условия экстремума.

Теорема 11. Пусть f(x) определена в окрестности своей критической точки x₀ и дифференцируема (хотя бы в проколотой окрестности этой точки). Если f (x) меняет знак при переходе через x₀, то x₀ – точка локального экстремума.

Доказательство очень просто. Если f ′(x) меняет знак с «+» на «» то, по теореме 10, слева от x₀ функция является возрастающей, справа  убывающей, x₀ – точка локального максимума. Если f ′(x) меняет знак с «» на «+», то x₀ – точка локального минимума.

Пример 11. Исследовать на экстремумы функцию .

Решение. Найдём производную:

.

Найдём критические точки, решая уравнение y′  0:

.

Критической является и точка x  0  в ней производная не существует.

О тметим найденные точки на оси. В каждом из полученных трех интервалов определим знак y′. (Заметим: во всех точках каждого интервала знак один и тот же, так как производная непрерывна и не обращается в 0 внутри интервала). Отметим знаки y′ на оси, для наглядности обозначим стрелками возрастание и убывание функции.

Хотя в точке x  0 происходит перемена знака y′, но экстремума нет, так как в этой точке функция не определена. В окрестности точки x  2 функция определена, производная меняет знак с «» на «+», поэтому x  2  точка минимума. График функции изобразим на рисунке.

Если функция имеет в критической точке вторую производную, то достаточное условие экстремума можно сформулировать по–другому.

Теорема 12 . Пусть в окрестности U(x₀) критической точки x₀ функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема ( т. е. её вторая производная существует и является непрерывной; множество таких функций часто обозначают C²(U(x₀)) ). Если f (x₀) < 0, то x₀  точка максимума, если f (x₀) > 0, то x₀  точка минимума.

Доказательство. Запишем формулу Тейлора для f(x) в окрестности точки x₀ при n  1:

, где с[x₀, x].

По условию f (x₀)  0, поэтому

.

Если f (x₀) < 0, то, по лемме о сохранении знака непрерывной функцией (см. 11.2), f (x) < 0 в некоторой окрестности x₀. Будем считать, что именно в такой окрестности и записана формула Тейлора, а значит f (c) < 0. Тогда, очевидно, и получаем, что f(x) < f(x₀), т. е. x₀  точка максимума.

Аналогично: если f (x₀) > 0, то и f (с) > 0. Отсюда получаем, что f(x) > f(x₀), т. е. x₀  точка минимума. Теорема доказана.

Заметим, что в теореме ничего не говорится о случае, когда f (x₀)  0. Чтобы до конца разобраться в ситуации, рассмотрим более общее достаточное условие экстремума, содержащее теорему 12 в качестве частного случая.

Теорема 13. Пусть f(x) (n+1) раз непрерывно дифференцируема в окрестности U(x₀) (т. е. f(x)Cⁿ⁺¹(U(x₀))). Пусть f(x₀)  f (x₀)  ...  f⁽ⁿ⁾(x₀)  0, f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)  0. Тогда если (n+1)  нечётное число, то экстремума нет. Если (n+1) чётно, то экстремум есть, причём максимум, если f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀) < 0, и минимум, если f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀) > 0.

Доказательство. Учитывая то, что первые n производных в точке x₀ равны 0, формула Тейлора запишется так:

.

Как и в доказательстве предыдущей теоремы, будем считать, что f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) сохраняет знак в рассматриваемой окрестности. Если (n+1) нечётно, то слагаемое , очевидно, имеет разные знаки при x < x₀ и при x > x₀. Значит, с одной стороны от x₀ выполняется неравенство f(x) > f(x₀), а с другой неравенство f(x) < f(x₀). Экстремума нет. Если же (n+1) чётно, то слагаемое , очевидно, имеет тот же знак, что и f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀). Значит, если f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀) > 0, то f(x) > f(x₀) в некоторой окрестности, x₀  точка минимума. Аналогично, если f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀) < 0, то f(x) < f(x₀) , x₀  точка максимума.

Пример 12. Имеет ли экстремум функция y  e^x + e^–x + 2cosx в точке x  0 ?

Решение. Найдём производную:

y  e^x  e^–x  2sinx.

Так как y(0)  0, то точка x  0 является «подозрительной» на экстремум. Другие критические точки нам неизвестны, поэтому применим не теорему 11, а теорему 13.

Первая ненулевая производная имеет чётный порядок, поэтому экстремум есть. Так как y(0) > 0, то это минимум.

1 3.4.2 Выпуклость и вогнутость. Пусть f(x)  дифференцируемая функция. Она называется выпуклой в точке x₀, если её график (в окрестности x₀) лежит ниже касательной, проведённой в точке x₀. Функция называется вогнутой в точке x₀, если её график (в окрестности x₀) лежит выше касательной, проведённой в точке x₀. Если функция выпукла (вогнута) в любой точке некоторого интервала, то она называется выпуклой (или, соответственно, вогнутой) на этом интервале. Используется и другая терминология: выпуклые функции иногда называют выпуклыми вверх, а вогнутые – выпуклыми вниз.

Теорема 14. Пусть f(x)C²(a,b) (т. е. f(x) дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a,b)). Тогда:

f(x) выпукла на (a,b)  f (x)  0,

f(x) вогнута на (a,b)  f (x)  0 (x(a,b)).

Доказательство. Возьмём x₀(a,b), запишем формулу Тейлора для f(x) при n  1:

.

Уравнение касательной в точке x  x₀:

.

Сравнивая эти формулы, видим, что f (x)  0 на (a,b) тогда и только тогда, когда f(x)  y, т. е. график функции лежит ниже касательной, функция выпукла. Аналогично , условие f (x)  0 на (a,b) равносильно вогнутости функции.

Замечание. Из выпуклости функции не следует строгое неравенство f (x) < 0, а из вогнутости не следует, что f (x) > 0. Например, функция f(x)  x⁴ вогнута на всей прямой, однако её вторая производная f (x)  12x²  0 в точке x  0.

Точка, отделяющая участок выпуклости от участка вогнутости, называется точкой перегиба.

Теорема 15. (необходимое условие перегиба). Если x₀  точка перегиба дважды непрерывно дифференцируемой функции, то f (x₀)  0.

Доказательство. Допустим, например, что слева от x₀ функция вогнута, т. е. f (x)  0, а справа выпукла, т. е. f (x)  0. Так как f (x) по условию является непрерывной функцией, то отсюда следует, что f (x)  0 (см. лемму о сохранении знака из 11.2 ).

З амечание. Функция может иметь перегиб и в точке, где вторая производная не существует (см. рисунок). Поэтому «подозрительными на перегиб» являются точки, где вторая производная равна 0 или не существует. Такие точки называются критическими точками 2 рода. Чтобы выяснить, является ли критическая точка точкой перегиба, нужны достаточные условия. Простейшие из них  в теореме 16.

Теорема 16. Пусть f(x) определена в окрестности критической точки 2 рода x₀ и дважды непрерывно дифференцируема (хотя бы в проколотой окрестности этой точки). Если f (x) меняет знак при переходе через x₀, то x₀  точка перегиба.

Доказательство очевидно.

Пример 13. Исследовать на выпуклость и вогнутость, найти точки перегиба функции y  ln(1+x²).

Решение. Найдём вторую производную:

Знаменатель в нуль не обращается, y существует во всех точках. Найдём точки, где y 0.

О тметим найденные критические точки 2 рода на оси. В каждом из полученных интервалов определим знак y (по её значению в произвольной точке: например, y(5) < 0, поэтому y(x) < 0 на (, 1)). По теореме 14, получаем, что на (, 1) функция выпукла, на (1, 1) вогнута, на (1, ) выпукла. Точки 1, 1 являются точками перегиба. Для наглядности отметим соответствующими дугами участки выпуклости и вогнутости.

13.4.3 Асимптоты. С понятием асимптоты мы встречались в части 1 пособия, изучая гиперболу. Здесь рассмотрим более строгое определение, научимся находить асимптоты графиков функций.

Прямая L называется асимптотой графика функции f(x), если расстояние от точки графика до L (измеряемое по перпендикуляру к L) стремится к 0 при неограниченном удалении точки графика от начала координат. Из определения видно, что если у графика функции есть асимптота, то график вдали от начала координат похож на прямую линию. При изучении функции это очень полезная информация.

Будем рассматривать отдельно «вертикальные» асимптоты (прямые, задаваемые уравнением вида x  a) и все прочие, «наклонные» асимптоты, которые можно задать уравнением y  kx+b. Таким образом, асимптота, заданная уравнением y  3, считается наклонной.

Асимптота y  kx+b называется правой, если график приближается к ней при x , и левой, если это происходит при x . Может быть, конечно, что одна и та же прямая линия является и правой, и левой асимптотой.

Теорема 17. Прямая x  a является вертикальной асимптотой графика функции f(x)  выполнено хотя бы одно из соотношений:

.

Д оказательство. Любое из указанных четырёх соотношений означает, что если xa, то f(x), т. е. если точка графика стремится к прямой x  a (расстояние между ними равно x  a), то эта точка неограниченно удаляется от начала координат. Отсюда следует, что x  a  асимптота.

Теорема 17 показывает, что вертикальные асимптоты тесно связаны с точками разрывов второго рода.

Пример 14. Найти вертикальные асимптоты графика функции

.

Решение. Так как (предел справа равен +, предел слева ), то x  2  вертикальная асимптота. Далее, (с любой стороны). Значит, x  1  вертикальная асимптота. Заметим, что точки x  –2, x  1 являются точками разрывов 2 рода.

Пример 15. Функция y  lnx не имеет разрывов, однако , т. е. x  0  вертикальная асимптота.

Перейдём к вопросу о нахождении наклонных асимптот.

Теорема 18. Прямая y  kx+b является правой асимптотой функции f(x)   . Аналогичное утверждение справедливо и для левой асимптоты, нужно лишь рассматривать пределы при x .

Д оказательство. Расстояние от точки графика до асимптоты изображается на рисунке отрезком MN. Заметим, что MN  MN₁cos, так как NMN₁  . Если координаты точки M есть (x, f(x)), то координата N₁ есть (x, kx+b). Поэтому

MN₁  f(x)  (kx+b).

Теперь ясно: y  kx + b  асимптота 

 MN0  MN₁0  . В этом случае , поэтому . Теорема доказана.

Пример 16. Найти асимптоты функции .

Решение. Так как , то x  2  вертикальная асимптота.

Ищем наклонные асимптоты в виде y  kx+b:

.

(Здесь для раскрытия неопределённости мы два раза применили правило Лопиталя). Так как предел при вычислении k получился равным , то правой асимптоты у нашей функции нет.

Попытаемся найти левую асимптоту: . (Здесь неопределённости нет: числитель стремится к 0, знаменатель к ).

.

Коэффициенты k, b найдены, прямая y  kx+b, т. е. прямая y = 0, является левой асимптотой.

13.4.4 Общий план построения графика. Рекомендуется следующий порядок изучения функции и построения её графика.

1. Найти область определения функции.

2. Проверить, не является ли функция чётной, нечётной, периодической. Если она обладает какими–либо из этих свойств, то при построении графика можно использовать симметрию.

3. Найти асимптоты графика, если они существуют.

4. С помощью производной первого порядка найти промежутки возрастания и убывания, найти экстремумы.

5. С помощью производной второго порядка найти промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

6. Используя полученную информацию, построить график. Для его уточнения можно дополнительно найти значения функции в некоторых точках, определить точки пересечения графика с осями координат.

Пример 17. Исследовать функцию , построить её график.

Решение. Будем действовать по указанному плану.

Значение функции можно вычислить при любом x, кроме x  1. Поэтому её область определения – R \ {1}.

Чётной или нечётной f(x) не является. Это ясно даже без проверки соотношений f(x)  f(x), так как область определения не симметрична: f(1) имеет смысл, а f(1) не определено. Периодической f(x) тоже не является: среди элементарных функций периодические  только те, у которых x содержится под знаками тригонометрических функций.

Ясно, что x  1  вертикальная асимптота. Выясним поведение функции при x1 с помощью односторонних пределов:

(в обоих случаях числитель стремится к 2, а знаменатель к 0, оставаясь положительным).

Чтобы найти левую и правую наклонные асимптоты y  kx+b (если они существуют), применим теорему 18. Сначала ищем правую:

Итак, прямая y  x+5 является правой асимптотой. Теперь пределы тех же выражений нужно вычислить при x . Заметим, что в этом примере все вычисления те же самые: они справедливы и при x +, и при x . Поэтому прямая y  x+5 является одновременно и правой, и левой асимптотой.

Найдём промежутки возрастания и убывания, а также экстремумы функции. Для этого дифференцируем:

Приравнивая f ′(x) к 0, находим критические точки первого рода:

.

К роме того, f ′(x) не существует при x  1. Отметим найденные точки на оси. В каждом из полученных интервалов определим знак f ′(x) (подставляя какое–либо значение x). Имеется только одна точка, где функция определена, а её производная меняет знак: x  5. Так как знак меняется с «» на «+», то это точка минимума. Вычислим значение функции в точке минимума: .

Найдём промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба. Для этого нужна производная второго порядка:

Приравнивая f ′′(x) к 0, найдём критические точки 2 рода:

.

К роме того, f ′′(x) не существует при x  1. Отметим точки на оси, определим знаки f ′′(x) в полученных интервалах. В соответствии с теоремами 14 и 16, на (, 1) функция выпукла, на (1, 1) вогнута, на (1, ) вогнута, x  1  точка перегиба.

Используя полученную информацию, строим график. Сначала начертим асимптоты, отметим найденные характерные точки.

На интервале (, 1) функция возрастает, выпукла. При x – её график приближается к асимптоте y  x+5. При x 1: f(x)  0, f (x)  0, т. е. касательная в точке x  1 становится горизонтальной.

На интервале (1, 1) функция возрастает, вогнута, при x1 её график приближается к вертикальной асимптоте.

На интервале (1, ) функция вогнута, имеет минимум при x  5. При x1 её график приближается к вертикальной асимптоте x  1, при x  к асимптоте y  x+5.