15.5 Применения определённого интеграла

В этом разделе будут получены несколько формул, нужных для решения различных задач. Однако основная цель – не вывод этих формул, а общая идея, очень мощный метод применения интегрального исчисления. Все рассмотренные ниже задачи являются лишь примерами его использования.

Иногда приводимые рассуждения не будут абсолютно строгими.

15.5.1 Вычисление площадей. Мы продолжаем пользоваться интуитивным пониманием слова «площадь». Уточнение этого понятие будет дано в части 3 пособия.

Е сли плоская фигура ограничена линией, уравнение которой задано в прямоугольной декартовой системе координат, то фигуру обычно можно представить в виде объединения или разности криволинейных трапеций. Затем следует воспользоваться аддитивностью интеграла и формулой для площади, полученной в 15.1.

Конечно, если на отрезке [a, b], то .

Часто приходится вычислять площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной в полярной системе координат. Напомним, полярная система координат рассматривалась в разделе 5.6 первой части пособия. Уравнение кривой задаёт зависимость полярного радиуса от полярного угла .

Рассмотрим задачу вычисления площади фигуры, ограниченной линией и лучами , , выходящими из полюса 0. Разобъём отрезок изменения угла на частей: .

Получим соответствующее разбиение фигуры лучами . Обозначим: . Выберем произвольно точки Для каждого n рассмотрим круговой сектор с углом и радиусом . Его площадь, как известно из школьного курса геометрии, равна половине произведения квадрата радиуса на угол:

.

Заменяя площадь искомой фигуры S на сумму площадей построенных секторов, получим приближённое равенство:

.

В правой части равенства – интегральная сумма функции на отрезке При неограниченном измельчении разбиения интегральная сумма стремится к интегралу, а ошибка приближённого равенства – к нулю. В результате получим:

Пример 5. Найти площадь одного лепестка 4-х лепестковой розы – фигуры, ограниченной кривой

Р ешение. Сделаем схематический чертёж, при этом полярную систему координат согласуем с декартовой, совмещая полюс с началом координат, полярную ось – с положительным направлением оси OX. Так как при то отмеченный на рисунке лепесток ограничен лучами Применяем выведенную формулу:

.

15.5.2 Вычисление объёмов. Понятие «объём», как и «площадь», будет уточняться в части 3 пособия. Пока имеем лишь интуитивное представление, которое позволит нам научиться вычислять объёмы тел с помощью определённых интегралов. Пусть – площадь сечения тела Т плоскостью . Разобъём отрезок [a, b] (проекция тела Т на ось OZ ) на n частей:

a  z₀, z₁, …, z_n  b.

Проведя плоскости z  z_i, получим разбиение тела Т на «слои». Выберем произвольно точки Объём каждого «слоя» вычислим приближённо, заменяя его цилиндром с высотой и площадью основания . Объём такого цилиндра, как известно, равен Получаем:

.

Переходя к пределу по всё более мелким разбиениям, получим точное равенство:

.

Р ассмотрим более конкретную задачу об объёме тела вращения. Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции f(x), осью OX и отрезками прямых x  a, x  b вращается вокруг оси OX. Разбивая отрезок [a, b], получим соответствующее разбиение тела вращения. Объём i–й части приблизительно равен объёму цилиндра с высотой и радиусом , где – произвольно выбранная точка на :

Значит объём всего тела вращения равен

Переходя к пределу по всё более мелким разбиениям, получим:

.

Пример 6. Найти объём эллипсоида вращения, полученного при вращении эллипса вокруг оси OX.

Решение. Вокруг оси OX вращается криволинейная трапеция, ограниченная

графиком функции Поэтому

.

Замечание. Если полуоси эллипса равны (a  b), то вращается окружность, и тело вращения – шар. Получаем известную формулу для объёма шара:

15.5.3 Длина кривой. Рассмотрим отображение

отрезка [a, b] в пространство . Для каждого числа t[a, b] обозначим через (t), (t), (t) декартовы координаты точки Если функции (t), (t), (t) непрерывны на [a, b], то образ отрезка [a, b] при отображении , т е. множество точек

,

называется непрерывной кривой. Ясно, что параметрическое задание такой кривой имеет вид:

Кривая называется гладкой, если функции непрерывно дифференцируемы, причём их производные ни в одной точке [a, b] не обращаются в нуль одновременно. Последнее условие можно записать так:

Рассмотрим разбиение отрезка [a, b]: .

Пусть n – соответствующие точки кривой. Длину вектора , как обычно, обозначаем . Число L называется длиной данной кривой, если такое, что для любого разбиения отрезка с мелкостью меньше

.

Cумма является длиной ломаной с узлами в точках . Имея ввиду данное точное определение, можно говорить, что длина кривой – это предел ( по всё более мелким разбиениям отрезка [a, b] ) длин вписанных в неё ломаных.

Кривая, имеющая конечную длину, называется спрямляемой.

Теорема 9. Гладкая кривая спрямляема, причём если кривая задана параметрическими уравнениями то её длину можно вычислить по формуле:

.

Доказательство. Рассмотрим разбиение отрезка [a, b] и вычислим длину i–го звена ломаной, вписанной в кривую и соответствующей этому разбиению:

. Применяя к каждой функции теорему Лагранжа ( теорема 4 из 13.1 ), получим:

Здесь . Длина всей ломаной равна

.

Заметим, что полученная сумма весьма похожа на интегральную сумму для интеграла в условии теоремы. Однако точки хотя и лежат внутри одного отрезка разбиения , могут не совпадать. Это и не позволяет нам сразу закончить доказательство, требуются дополнительные рассуждения.

Так как функции непрерывны, то непрерывны и их квадраты . По теореме Кантора, они является равномерно непрерывными на , т.е.

и аналогичные неравенства справедливы для и .

Возьмём . Выберем такое , чтобы

.

Тогда, если разбиение мельче , то

.

Здесь мы воспользовались правой частью очевидного (особенно после возведения всех его частей в квадрат ) неравенства:

.

Если применить и левую часть этого неравенства, то окончательно убедимся в том, что отличается от не более, чем на :

.

Умножая каждое неравенство на и суммируя по i , получим:

.

Или, что то же самое:

.

Итак, при достаточно мелких разбиениях , длина ломаной мало отличается от некоторой интегральной суммы для интеграла

.

С другой стороны, этот интеграл существует, так как под интегралом – непрерывная функция. Значит, если разбиение достаточно мелкое, то

.

Теперь докажем, что число I является длиной нашей кривой:

. Теорема доказана.

Замечание. Если рассматривается плоская кривая:

то формула для длины аналогична:

.

Плоская кривая часто является графиком функции y  f(x). Принимая в качестве параметра переменную x , можем перейти к параметрическому заданию: x  t, y  f(t) . По той же формуле: .

Наконец, если кривая задана в полярной системе координат уравнением , то в качестве параметра обычно принимают полярный угол . В декартовой системе координат, согласованной с данной полярной, параметрические уравнения кривой имеют вид: . Вычислим её длину:

.

Пример 7. Найти длину участка кривой , если

Решение. Применяем полученную выше формулу:

.

15.5.4 Примеры применения интеграла в физике. Наша цель – иллюстрация основной идеи интегрального исчисления. Поэтому мы рассмотрим лишь две простейшие физические задачи.

Задача о работе. Материальная точка движется прямолинейно под действием переменной (по величине) силы. Требуется вычислить работу силы на заданном участке пути. Для определённости будем считать, что точка движется по оси OX из положения x  a в положение x  b. Величина силы зависит от положения точки: f  f(x).

Разобъём отрезок [a, b] на n частей: a  x₀ , x₁, x₂, …, x_n  b. На каждом отрезке [x_i-1, x_i] выберем произвольно точку . Допуская некоторую погрешность, будем считать, что сила f(x) не меняется на [x_i-1, x_i] и равна . Работа постоянной силы на отрезке длиной равна, как известно, . Поэтому для искомой работы А получаем приближённое равенство:

Ошибка этого равенства тем меньше, чем мельче разбиение. Если мелкость разбиения стремится к нулю, то и ошибка стремится к нулю. Выражение в правой части равенства – интегральная сумма, которая при измельчении разбиения стремится к интегралу. Окончательно получим: .

На практике используется также и другая, упрощённая схема применения интеграла. Неизвестная величина (в нашей задаче – работа) связывается с некоторой функцией, определённой на отрезке [a, b] : A  A(x) , x[a, b]. Приращение функции, соответствующее приращению переменной x  dx , вычисляется приближённо, пренебрегая бесконечно малыми слагаемыми более высоких, чем x порядков. Фактически, находится дифференциал: dA  f(x)dx – работа силы на «элементарном» отрезке пути dx. После этого искомая величина находится с помощью интеграла: .

Итак: вместо разбиения отрезка [a, b] на x_i – «элементарный» отрезок dx; вместо приращения функции (слагаемого в интегральной сумме) – дифференциал; вместо суммы – интеграл.

Задача о массе стержня. Пусть плотность тонкого стержня длины L есть функция

, где x – расстояние точки от одного из концов стержня. Разобъём весь стержень точками x₀  0, x₁, …, x_n  L. На каждом участке [x_i-1, x_i] выбираем произвольно точку . Так как мы будем рассматривать мелкие разбиения, то плотность на этом участке изменяется незначительно. Можно приближённо считать, что она постоянна и равна плотности в точке . Для массы i–го участка получим тогда приближённое равенство: . Находим массу всего стержня: . В правой части – интегральная сумма. Переходя к пределу по всё более мелким разбиениям, получим точную формулу для массы стержня: .

Допустимо и более простое рассуждение. Рассмотрим «элемент» стержня dx , находящийся на расстоянии x от его левого конца. Находим его массу, пренебрегая неоднородностью на малом участке: dm  (x) dx. Масса всего стержня равна интегралу:

.

Замечание. В рассмотренных примерах важны не итоговые формулы для работы и массы, а метод , использующий основные идеи интегрального исчисления. Этот метод можно применить к очень многим задачам.

Пример 8. Плотина имеет форму равнобочной трапеции высотой H  20м и основаниями a  400 м, b  100 м. Верхнее, более длинное основание, лежит на уровне поверхности воды. Найти силу давления воды на плотину.

Р ешение. Из физики известно, что давление воды на глубине h равно , где – плотность воды , g – ускорение свободного падения. Если на этой глубине расположить пластину площадью S , то сила давления на неё будет равна .

Разбивая плотину горизонтальными прямыми, рассмотрим «элементарную площадку», расположенную на глубине h. Можно считать, что это прямоугольник высотой dh, Чтобы найти его длину , используем подобие треугольников (см. рисунок): . Отсюда , Следовательно, площадь «элементарной площадки» равна а давление воды на неё Давление на всю плотину: .

Вычислим интеграл и подставим числовые данные:

 1000 кг/ м³ , g  10 м /сек² , H  20 м , а  400 м , b  100 м . Получим :

1000(кг/м³)∙10(м/сек²)∙400(м²)∙100(м)  4∙10⁸ (кгм/сек²) 4∙10⁸(н).