13.2 Правило Лопиталя

В предыдущих разделах мы учились вычислять пределы, используя сравнение бесконечно малых функций, замечательные пределы, различные преобразования. Очень эффективным средством является так называемое правило Лопиталя, основанное на применении следующей теоремы:

Теорема 5. Пусть выполнены условия:

1) функции f(x), g(x) дифференцируемы на (a, b];

2) g′(x)  0 в окрестности точки а;

3) предел представляет собой неопределённость вида или ;

4) существует .

Тогда существует и равен А.

Доказательство проведём только для случая неопределённости : пусть . Если доопределить функции f(x), g(x) в точке х  а: f(a)   g(a)  0, то они, очевидно, будут непрерывными на [a, b]. Применим к ним теорему Коши на отрезке [a, x]:

с  (а, х):

Перейдём в последнем равенстве к пределу при x  a (тогда, очевидно, и с  а):

что и требовалось доказать.

Случай неопределённости оставляем без доказательства.

Замечания. Теорема 5 справедлива и для А   , конечность А нигде не использовалась. Рассматриваемые пределы были односторонними, точнее  правыми. Однако очевидно, что и для левосторонних пределов утверждение остаётся в силе. Верно оно и в том (наиболее простом) случае, когда f(x), g(x) определены и непрерывны в окрестности точки х  а – тогда нет необходимости рассматривать односторонние пределы.

Заметим также, что правило Лопиталя можно применять и при x   . Для проверки этого сделаем замену переменной, а также используем правило дифференцирования сложной функции:

Пример 1. Вычислить .

Решение. Имеем неопределённость . Другие условия теоремы 6 также выполнены: функции f(x)  e^x  e^–x, g(x)  sinx дифференцируемы не только в окрестности х  0, но и в любой точке. Производная g′(x)  (sinx)′  cosx не обращается в 0 в окрестности х0. Предел отношения производных существует и легко вычисляется:

Значит,

Правило Лопиталя можно применять несколько раз.

Пример 2. Вычислить .

Решение.

.

Такие цепочки преобразований приводят к результату в том случае, если последний предел существует. Иначе правило Лопиталя применять нельзя.

Пример 3. Вычислить

Решение. Имеем неопределённость . Однако

– не существует. Правило Лопиталя неприменимо, но исходный предел существует, его легко можно вычислить другим способом:

При вычислении пределов, содержащих неопределённости других видов: 0, –, 1^, 0⁰ или ⁰ нужно преобразовать выражение к виду или . При этом для «показательных» неопределённостей 1^, 0⁰, ⁰ применяется предварительное логарифмирование.

Пример 4. Вычислить

Решение. Так как при x+0 lnx  –, а значит , то имеем неопределённость вида 0⁰. Обозначим искомый предел через А. Тогда

Теперь, зная lnA  2, находим A  e².

13.3 Формула Тейлора

Одними из наиболее простых для изучения функций являются многочлены. Напомним: многочленом называется функция вида:

P(x)  c₀xⁿ + c₁x^n–1 + ... + c_n–1x + c_n.

Алгебраические свойства многочленов рассматривались в модуле 5. С точки зрения математического анализа, функция P(x) определена на всей прямой R, непрерывна и дифференцируема в любой точке. Для вычисления значений P(x) нужны лишь сложение и умножение. Производная P(x) также, очевидно, является многочленом. Все эти факты приводят к вопросу: нельзя ли для произвольной функции f(x) подобрать многочлен, мало отличающийся от f(x) ? Может быть, такое приближение возможно не на всей области определения, а хотя бы в окрестности данной точки? Обсуждению этих вопросов и посвящается этот раздел.

Пусть функция f(x) в точке х₀ имеет n производных. Многочленом Тейлора степени n для f(x) в окрестности точки х₀ называется многочлен T_n(x), такой, что:

f(x₀)  T_n(x₀),

f ′(x₀)  T_n′(x₀),

f ′′(x₀)  T_n′′(x₀),

. . . . . . . . .

f ⁽ⁿ⁾(x₀)  T_n⁽ⁿ⁾(x₀).

Теорема 6. Если f(x) n раз дифференцируема в точке х₀, то для неё существует многочлен Тейлора.

Доказательство. Будем искать многочлен Тейлора в виде:

T_n(x)  a₀ + a₁(x  x₀) + a₂(x  x₀)² + ... + a_n(x  x₀)ⁿ.

(Заметим, что в таком виде – «по степеням х  х₀»  можно записать любой многочлен. См. пример 5 ниже).

По условию имеем: f(x₀)  T_n(x₀)  a₀.

Вычислим производную T_n′(x) и используем то, что f (x₀)  T_n′(x₀).

T_n′(x)  a₁ + 2a₂(x  x₀) + 3a₃(x  x₀)² + ... + na_n(x  x₀)^n–1,

f ′(x₀)  T_n′(x₀)  a₁.

Вычислим производную T_n′′(x) и используем то, что f ′′(x₀)  T_n′′(x₀).

T_n′′(x)  2a₂ + 32a₃ (x  x₀) + ... +n (n  1)(x  x₀)^n–2,

f ′′(x₀)  T_n′′(x₀)  2a₂.

Продолжая аналогичные вычисления, получим:

f ′′′(x₀)  32a₃  3! a₃ , ... , f⁽ⁿ⁾(x₀)  n! a_n.

Итак, мы нашли все коэффициенты T_n(x):

Многочлен Тейлора имеет вид:

T_n(x)  f(x₀) +

Замечание. Можно было сразу написать последнюю формулу и проверить, что такой многочлен обладает требуемыми свойствами.

Пример 5. Записать многочлен h(x)  2x³  x² + 3x  1 по степеням х  2.

Решение. Обозначим: x  2  z. Тогда x  z + 2. Подставим:

h(x)  h(z + 2)  2(z + 2)³  (z + 2)² + 3(z + 2)  1 

 2z³ + 12z² + 24z + 16  z²  4z  4 + 3z + 6  1 

 2z³ + 11z² + 23z + 17  2(x–2)³ + 11(x – 2)² + 23(x – 2) + 17.

Пример 6. Записать для функции f(x)  cos x многочлен Тейлора 2–й степени в окрестности точки х  0.

Решение. Вычислим значения f(x) и её производных в точке 0:

f(0)  cos 0  1; f ′(0)  (cos x)′  sin x|_x0  0,

f ′′(0)  (cos x)′′  (sin x)′  cos x|_x0  1.

Значит,

Чтобы определить, насколько отличается функция от своего многочлена Тейлора, рассмотрим разность:

r_n(x)  f(x)  T_n(x).

Функция r_n(x) называется остаточным членом.

Теорема 7. Если функция f(x) n раз непрерывно дифференцируема в окрестности x₀ (т.е. её производная n–го порядка является непрерывной функцией), то

r_n(x)  ((x  x₀)ⁿ),

т.е. при хх₀ функция r_n(x)  бесконечно малая более высокого порядка, чем (x  x₀)ⁿ.

Доказательство. Вычислим предел , применяя правило Лопиталя для раскрытия неопределённости :

Теорема доказана. Теперь можем записать формулу:

Она называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Замечание. При n  1 формула Тейлора имеет вид:

f(x)  f(x₀) +f ′(x₀)(x  x₀) + (x  x₀).

Так как x  x ₀  x  приращение аргумента, f(x)  f(x₀)  приращение функции, то это соотношение нам известно:

f  f ′(x₀) x + (x)  df + (x).

Таким образом, от использования дифференциала (линейного приближения функции), мы переходим к более точному приближению функции многочленом n–й степени.

Докажем, что многочлен n–й степени, который отличается в окрестности точки х₀ от функции f(x) на величину ((x  x₀)ⁿ), определяется единственным образом. Другими словами, справедлива

Теорема 8. Если f(x) n раз непрерывно дифференцируема в окрестности х₀, P_n(x) – такой многочлен, что f(x)  P_n(x)  ((x  x₀)ⁿ), то P_n(x)  T_n(x) – многочлен Тейлора для f(x).

Доказательство. Запишем P_n(x) по степеням x  x₀:

P_n(x)  a₀ + a₁(x  x₀) + ... + a_n(x  x₀)ⁿ.

По условию f(x)  P_n(x) + ((x  x₀)ⁿ). Применим формулу Тейлора:

(Мы поставили индексы у бесконечно малых для того, чтобы обратить внимание: просто зачеркнуть их было бы неверно).

Перейдём в последнем равенстве к пределу при xx₀. Получим: f(x₀)  a₀. Сокращая эти слагаемые и разделив на (x  x₀), получим:

Перейдём к пределу при xx₀ и получим: Повторяем преобразование: сокращаем одинаковые слагаемые, делим на x  x₀, переходим к пределу. Последовательно будет доказано:

Значит, P_n(x)  T_n(x)  многочлен Тейлора.

Пример 7. Найти многочлен Тейлора для функции в окрестности точки x  0.

Решение. Как известно из школьного курса математики, при |x| < 1

(формула для суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии). По этой же формуле.

.

Значит

так как при x0. По теореме 8 многочлен 1 + x + ... + xⁿ является искомым многочленом Тейлора. Можно было найти его и другим способом, вычисляя производные f^(k)(0).

Прежде чем рассмотреть другие примеры, научимся записывать остаточный член в формуле Тейлора в несколько иной форме.

Теорема 9. Если f(x) (n + 1) раз непрерывно дифференцируема в окрестности точки х₀, то

где c[x₀, x] (или с[x, x₀], если x < x₀). Эта формула – формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Доказательство. Обозначим r_n(x)  f(x)  T_n(x)  остаточный член. Из определения многочлена Тейлора следует:

r_n(x₀)  r_n′(x₀)  ...  r_n⁽ⁿ⁾(x₀)  0.

Рассмотрим функцию (x)  (x – x₀)ⁿ⁺¹. Ясно, что она тоже обладает такими свойствами:

(x₀)  ′(x₀)  ...  ⁽ⁿ⁾(x₀)  0.

Проведём преобразования (считаем для определённости, что x > x₀):

где x₁  [x₀, x].

Последнее равенство  результат применения теоремы Коши (теорема 3 из 13.1). Повторяем аналогичные преобразования:

Заметим далее: r⁽ⁿ⁺¹⁾(c)  f⁽ⁿ⁺¹⁾(c) – T_n⁽ⁿ⁺¹⁾(c)  f⁽ⁿ⁺¹⁾(c) – 0  f⁽ⁿ⁺¹⁾(c),

⁽ⁿ⁺¹⁾(c)  (n + 1)n(n –1) ... 1  (n + 1)! .

Следовательно , т.е.

Требуемая форма (форма Лагранжа) остаточного члена получена.

В более компактном виде формулу Тейлора можно записать с помощью значка :

Здесь под производной порядка 0 понимается сама функция f⁽⁰⁾(x₀)  f(x₀). Напомним также, что 0!  1 (см. 9.4.2).

Наиболее часто формула Тейлора применяется при x₀  0. Этот частный случай имеет специальное название: формула Маклорена. Например, с остаточным членом в форме Лагранжа формула Маклорена запишется так:

.

Рассмотрим примеры разложения элементарных функций по формуле Тейлора.

Пример 8. Разложить функцию f(x)  e^x по формуле Маклорена. С помощью полученного разложения вычислить с точностью до 0,01.

Решение. Как мы знаем, производная любого порядка от функции e^x есть снова функция e^x. Поэтому для любого k. Подставляя в формулу Маклорена, получим:

Чтобы вычислить , нужно применить эту формулу при :

,

где . Написанное равенство  точное, но его правая часть содержит неизвестное нам значение c. Отбрасывая остаточный член, получим приближённое равенство:

.

При этом допускается погрешность (ошибка), равная . Нам нужно взять такое n, чтобы эта ошибка была не больше 0,01. Так как , то ясно: . Поэтому

.

Решая неравенство простым подбором, убедимся, что оно выполнено начиная с n  3:

.

Итак, с требуемой точностью

.

Пример 9. Найти разложение по формуле Маклорена функций sinx, cosx.

Решение. Вычисляем значения производных функции f(x)  sinx при x  0:

Получаем разложение (учитывая, что sin0  0):

,

где остаточный член .

Разложение для cosx получается аналогично:

.

Пример 10 Разложить функцию f(x)  lnx по формуле Тейлора в окрестности точки x  1.

Решение. Заметим, что разложить lnx по формуле Маклорена ( т. е. в окрестности x  0) невозможно: функция не определена при . Вычисляем значения функции и её производных:

Получаем разложение:

.

Эту же формулу удобнее записывать как разложение функции ln(1+t) в окрестности t  0. Обозначая x  1+t, получим: