12.5 Упражнения для самостоятельной работы

1. Пользуясь определением, найти производные следующих функций:

а) ; б) ;

в) ; г) .

2. Найти производные следующих функций:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) ; к) ;

л) y  ; м) y  (th x)(th 3)(th 3x) .

3. Найти производную функции в указанной точке x₀:

а) ; б) ;

в) ; г) .

4. Найти производную функции, заданной кусочно–аналитическим способом. Построить графики функции и её производной. а) ; б) .

5. Найти производные следующих функций: а) ; б) ; в) ; г) .

6. Найти производные функций y(x), заданных параметрически: а) ; б) .

7. Найти производные функций y(x), заданных неявно: а) 2x² – 3xy – 5y² + 4  0; б) e^xsiny  e^–ycosx.

8. Найти производную второго порядка функции y(x). Вычислить её значение в точке x  x₀: а) y  (x – 2)e^2x, x₀  0; б) y  arctg2x, x₀  –1;

в) x² + y² + 3 xy+ 1  0, x₀  2 , y(2) ;

г) .

9. Найти уравнения касательных к гиперболе y²–2x²1 в точках с абсциссой x2.

10. На кривой y  x³ найти точку, в которой касательная перпендикулярна прямой y–3x+5 .

11. Углом пересечения кривых называется угол между касательными, проведёнными в точке пересечения к каждой из кривых. Определить углы, под которыми пересекаются кривые: а) x² + y²  8, y²  2x; б) y  sinx, y  cosx (x  [0, ]).

12. Написать уравнения касательной и нормали к кривой в точке с координатами (соответствует значению параметра t  1).

13. Написать уравнение касательной, проведённой через точку (1, –2) к кривой y  x⁴–3.

14. Точка движется по кривой y  x³ – 2x так, что её абсцисса возрастает с постоянной скоростью v  3. С какой скоростью изменяется ордината в момент, когда точка проходит положение (2, 4) ?

15. Точка движется по дуге окружности x² + y²  100 так, что её ордината возрастает с постоянной скоростью v  2. С какой скоростью изменяется абсцисса? Определить эту скорость в момент, когда ордината равна 6.

16. Найти дифференциал функции в указанной точке: а) ; б) y  sin(ln(x+1)+arctg2x), x₀  0.

17. Вычислить приближённо (принимая ): а) ln 0,98 ; б) arctg 1,05; в) sin 5957; г) значение функции при x  0,03.

12.6 Образец теста

(для дистанционной формы обучения).

1. Найти значение производной функции y  ln(x²+1) при x  7.

2. Найти f (0), если .

3. Найти f (0), если .

4. Найти y (1), если функция y(x) задана неявно равенством x³ + 5xy +2y³  1.

5. Найти абсциссу точки ( в первой четверти ), в которой касательная к эллипсу имеет угловой коэффициент, равный –2.

6. Написать уравнение касательной к параболе y  x² в точке (2, 4). В ответе

указать абсциссу точки пересечения касательной с осью OX.