12.3 Дифференциал

Пусть функция f(x) дифференцируема в точке x₀, т. е. имеет конечную производную:

.

Используя свойство предела, то же самое можно записать в виде:

,

где (x) – бесконечно малая функция при x  0. Значит приращение f запишется так:

f  f (x₀)x + (x)x.

Приращение f (функции f в точке x₀) является функцией от x. Последнее равенство показывает, как устроена эта функция. Первое слагаемое очень просто (линейно) зависит от x. Его называют дифференциалом функции f в точке x₀, соответствующим приращению x. Используется обозначение:

df  f (x₀) x.

Второе слагаемое (x)x есть при x  0 бесконечно малая величина более высокого порядка, чем x:

.

Поэтому для приращения функции получаем формулу:

f  df + (x).

Пример 22. Найдём дифференциал функции f(x)  x³ в произвольной точке x₀. Преобразуем приращение:

.

Видим, что линейная часть приращения (т. е. дифференциал) равна . Оставшаяся часть – бесконечно малая более высокого порядка: .

Заметим, что дифференциал проще было найти не преобразованиями f, а с помощью производной: . В дальнейшем мы так и будем поступать.

Рассмотрим функцию f(x)  x. Её производная в любой точке равна 1. Поэтому

df  dx  1 x  x.

Используя равенство dx  x, формулу для дифференциала будем записывать так:

df  f (x₀) dx.

Замечание. Как мы убедились, дифференциал является линейной функцией от x, или, как говорят линейной частью приращения f. Тот факт, что f – df  (x), выражают словами: дифференциал есть главная часть приращения f. Иногда пишут

f  df,

пренебрегая бесконечно малым слагаемым более высокого порядка. Это приближённое равенство можно использовать в вычислениях, не требующих большой точности. Смысл в том, чтобы заменить (обычно сложное ) вычисление f более простым вычислением df. Оценивать ошибку, допускаемую при такой замене, мы научимся в следующем модуле.

Пример 23. На сколько увеличится объём шара радиусом R  1 м, если радиус увеличить на 2 см ?

Решение. Объём шара, как известно, равен

.

Можно найти искомое приращение объёма и непосредственно: . Однако проще это сделать с помощью дифференциала:

.

П осмотрим на дифференциал с геометрической точки зрения. На рисунке к графику функции f(x) проведена касательная в точке A с абсциссой x₀. Видим, что приращение f  BC является суммой:

BC  CD + BD.

Так как , то

CD f (x₀) AC  f (x₀) x  df.

Значит, дифференциал равен приращению ординаты касательной при данном значении x. Разность BD  BC – CD  f – df  (x) – бесконечно малая более высокого порядка, чем x.

Свойства дифференциала вытекают из его связи с понятием производной и свойств производной. Сформулируем их в виде теоремы.

Теорема 7. Если f₁, f₂ дифференцируемые функции, C – постоянная, то

d(c)  0;

;

;

.

Доказательство всех свойств проводится по одной схеме. Докажем, например, последнее :

.

Рассмотрим ещё одно важное свойство. Пусть z  f(y), y  g(x), причём определена сложная функция z(x)  f(g(x)). Найдём дифференциал этой функции:

dz  z(x)dx  f (g(x)) g(x) dx  f (g(x))dg  f (y)dy.

Итак, мы получили, что дифференциал всегда имеет такую форму: производная функции по некоторой переменной, умноженная на дифференциал этой переменной. Причем неважно, является ли переменная независимой, или она является функцией от другой переменной. Это свойство называется инвариантностью формы дифференциала. Коротко его можно записать так:

df  f (u)du,

где u – произвольная дифференцируемая функция.

Пример 24. Найти дифференциал функции f(x)  cos³x.

Решение. d(cos³x)  3cos²x d(cosx)  3cos²x (–sinx)dx  –3cos²xsinxdx.

В начале темы мы познакомились с понятием производной второго и более высоких порядков. Здесь нет сложности: по одним и тем же правилам дифференцирования мы переходим от f(x) к f (x), от f (x) к f (x), и т. д. В понятие дифференциала кроме точки, где он вычисляется, входит ещё приращение dx. Меняя точку, мы можем рассматривать дифференциал как функцию от x (приращение dx при этом не зависит от точки). Дифференциал полученной функции называется дифференциалом второго порядка функции f(x):

d²f  d(df)  d(f (x)dx)  d(f (x))dx  f (x)(dx)².

Аналогично определяются дифференциалы и более высоких порядков:

d³f  d(d²f)  f (x)(dx)³, … , dⁿf  d(d^n–1 f)  f ⁽ⁿ⁾ (x)(dx)ⁿ.

Заметим, что уже дифференциал 2 порядка не обладает свойством инвариантности: формула d²f  f(x)dx справедлива только для независимой переменной x. Действительно, пусть f  f(x), x  x(t). Тогда

.

Мы видим, что если x не является независимой переменной, а есть функция, то в формуле для d²f появляется дополнительное слагаемое (в случае независимой переменной x, конечно, d²x  0).