16.3 Задачи с решениями

1. Вычислить

Решение. На интервале подинтегральная функция непрерывна, поэтому особенность здесь только одна – бесконечный верхний предел. Действуем по определению :

Замечание. Допускается более простая запись:

Изменилась лишь форма записи, смысл не изменился. Обратим внимание: подставлять или другую особую точку можно только с помощью предельного перехода .

2. Вычислить

Решение. Многочлен не имеет действительных корней. Поэтому

особенностями здесь являются только бесконечные пределы. По определению:

Вычислим сначала I₁ :

.

Аналогично вычисляется и I₂:

Следовательно,

3. Вычислить

Решение. Подинтегральная функция не ограничена при и непрерывна в остальных точках отрезка . Применим формулу интегрирования по частям. Будем пользоваться сокращённой записью, подставляя точку x  0 с помощью предельного перехода.

.

Предел вычислим с помощью правила Лопиталя:

Оставшийся интеграл легко вычисляется:

В результате получим:

4. Исследовать сходимость интеграла

Решение. Так как в данном случае первообразная для подинтегральной функции легко находится, то можно не пользоваться признаками сходимости, а выполнить прямое вычисление :

Другими словами, интеграл расходится.

5. Исследовать сходимость интеграла

Решение. Подинтегральная функция не ограничена в окрестности точек x  –1, x  2. Значит, интеграл нужно представить в виде суммы:

Точка 0 здесь взята произвольно, от неё ничего не зависит.

Рассмотрим первое слагаемое: Сравним последний интеграл (у него подинтегральная функция положительна) с помощью предельного признака сравнения (теорема 3) с интегралом который сходится (см. пример 8 из 16.2 ):

Получилось конечное ненулевое число. Значит тоже сходится.

Второе слагаемое сравним с интегралом

Так как расходится (см. пример 8), то и тоже расходится.

Рассматривать последнее слагаемое не имеет смысла: если хотя бы один из интегралов расходится, значит расходится и сумма.

6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение. Сделаем чертёж. Прямая x  1 является вертикальной асимптотой графика функции Площадь выражается несобственным интегралом Вычислим его:

После замены переменной интеграл стал собственным. Это может произойти только в том случае, если интеграл сходится. Закончим вычисления:

Площадь фигуры конечна и равна

7. Исследовать сходимость интеграла

Решение. Заметим, что в окрестности точки x  0 подинтегальная функция не ограничена:

Значит, интеграл имеет особенности на каждом из концов промежутка интегрирования. Поэтому его следует разбить в сумму двух интегралов (с помощью произвольной точки, например, x  1) и исследовать сходимость каждого слагаемого.

Сходимость второго слагаемого легко установить с помощью предельного признака

сравнения. Возьмём сходящийся интеграл (см. пример 2; здесь ) и вычислим предел отношения подинтегральных функций:

Получилось конечное ненулевое число, поэтому сходится.

Интеграл также изучим с помощью предельного признака. Как мы знаем, интеграл сходится (см. пример 8; здесь ). Предел отношения подинтегальных функций легко вычисляется:

(Мы не стали здесь применять правило Лопиталя, так как эквивалентность бесконечно малых и при нам давно известна.) Предельный признак сравнения позволяет заключить, что сходится. Значит, сходится и сумма, т.е. интеграл