16 Несобственные интегралы

16.1 Несобственные интегралы с бесконечными пределами

Мы рассматривали определённый интеграл Римана от функции f(x) по конечному отрезку [a, b]. Здесь будет дано важное обобщение – познакомимся с интегралами вида:

16.1.1 Определение и свойства. Пусть функция f(x) непрерывна на бесконечном промежутке . Тогда для любого она, конечно, непрерывна на отрезке [a, t]. Значит, существует Несобственным интегралом от функции f(x) по промежутку называется предел

Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же предел бесконечен или вообще не существует, то несобственный интеграл расходится, т. е. не имеет никакого числового значения.

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом:

Несобственный интеграл определяется как сумма:

причём число a можно выбрать произвольно. Интеграл в левой части равенства называется сходящимся, если сходятся оба интеграла справа. Легко заметить (см. Свойство 1 ниже), что от выбора числа a не зависит ни сходимость или расходимость интеграла ни его числовое значение (в случае, если он сходится).

Пример 1. Рассмотрим интеграл Для его вычисления возьмём любое число, например a  0 , и представим

Вычислим один из интегралов справа:

Интеграл расходится. Значит, расходится и

Заметим, что было бы неверным такое вычисление:

Пример 2. Рассмотрим интеграл где  – некоторое число. Вычисляем, используя определение:

В случае  1 требуется отдельное вычисление:

Итак, мы получили:

сходится   > 1 .

Этот результат нам много раз пригодится в будущем.

Рассмотрим некоторые свойства несобственных интегралов.

Свойство 1. Если a < b, функция f(x) непрерывна на , то интегралы

или оба сходятся, или оба расходятся.

Доказательство. Воспользуемся аддитивностью определённого интеграла:

Так как – постоянное число, то существует и конечен тогда и только тогда, когда существует и конечен

Свойство 1 показывает, что сходимость или раcходимость определяется поведением функции при Ни изменение величины a, ни свойства f(x) на любом конечном отрезке [a, b] не влияют на сходимость (при условии, что функция непрерывна).

Свойство 2. Если интегралы сходятся, то сходится и причём

Доказательство сразу следует из определения и свойств предела функции.

Теорема 1 (критерий Коши).

сходится .

Доказательство .

«». Пусть сходится, т.е. существует конечный По определению предела, это значит, что

Возьмём и найдём число N, для которого

Пусть Тогда

«». Возьмём последовательность {b_n}: limb_n  . Обозначим: Тогда .

Используя условие теоремы, получаем:

Напомним: последовательность с таким свойством называется фундаментальной. По критерию Коши для числовых последовательностей (теорема 9 из 9.4.4), она сходится, т. е. существует конечный

Итак, для функции доказано: если то .

По определению предела (на языке последовательностей) это и означает, что

Замечание. Для несобственного интеграла, как и для определённого интеграла Римана, можно рассматривать геометрическую интерпретацию. До сих пор мы не говорили о площади неограниченной, «уходящей в бесконечность» фигуры. Но это понятие можно ввести, переходя к неограниченной фигуре с помощью предельного перехода.

Пример 3. Рассмотрим фигуру, лежащую между графиком функции и осями координат. «Площадью» S этой неограниченной фигуры называется предел, к которому стремятся площади фигур, ограниченных указанными линиями, а также прямой x  t. Другими словами . В нашем случае интеграл сходится и площадь существует:

Если интеграл расходится, то говорят, что данная фигура не имеет площади (или имеет бесконечную площадь, если соответствующий предел равен  ).

16.1.2 Признаки сходимости несобственных интегралов от положительных функций. Здесь рассматриваются функции f(x) такие, что f(x)  0 (для любого x из рассматриваемого промежутка). Сначала получим один вспомогательный результат.

Лемма. Пусть f(x) непрерывна и f(x)  0 на промежутке Тогда

сходится  интегралы ограничены,

т.е.

Доказательство. Заметим, что если t₁ < t₂, то т. е. функция возрастающая.

Если сходится, т. е. существует конечный предел то ясно, что

Если интегралы ограничены, то функция возрастает и ограничена. Следовательно, существует конечный предел т. е. интеграл сходится. Лемма доказана.

Теорема 2 (признак сравнения). Пусть функции f(x), g(x) непрерывны на причём Тогда если сходится, то и сходится.

Если же расходится, то расходится и интеграл

Доказательство. Пусть сходится. Тогда, по лемме, M: t Но из условия f(x) g(x) следует, что Значит, Опять применяя лемму, получим, что сходится.

Второе утверждение очевидно: если расходится, то сходиться не может – иначе получим противоречие с первой частью теоремы.

Пример 4. Сходится ли интеграл

Решение. Рассмотрим Он сходится – это установлено в примере 2. Так как то, по теореме 2, рассматриваемый интеграл тоже сходится.

Теорема 3 (предельный признак сравнения). Пусть функции f(x), g(x) непрерывны на причём f(x) 0, g(x) > 0. Если существует

то или оба интеграла сходятся, или оба расходятся.

Доказательство. По определению предела:

Из условия ясно, что A > 0. Возьмём : 0 <  < A, подберём для него N с указанным свойством. Проведём преобразования (для x > N):

Допустим теперь, что сходится. Используя левую часть последнего неравенства и

теорему 2, получаем, что сходится. А значит сходится и

Аналогично, если расходится, то расходится а значит и Теорема доказана.

Пример 5. Исследовать на сходимость интеграл .

Решение. Подберём для функции такую функцию g(x), чтобы предел был конечным ненулевым числом, и чтобы интеграл было несложно исследовать. Удобно взять Тогда

.

Интеграл расходится (см. пример 2). Значит, по теореме 3, тоже расходится.

Замечание. Для применения признаков сравнения нужен запас интегралов, сходимость или расходимость которых уже установлена. Удобно использовать для этой цели интегралы при различных  , рассмотренные в примере 2. Именно так мы и поступили в примерах 4, 5.

16.1.3 Абсолютная сходимость. Здесь мы откажемся от требования f(x) 0. Но вместе с интегралом будем рассматривать интеграл в котором подинтегральная функция положительна.

Теорема 4. Если сходится, то и тоже сходится.

Доказательство. Установим сначала одно свойство определённого интеграла.

Если то при условии, что эти интегралы существуют. Действительно, неравенство выполнено для всех . По свойству интегрирования неравенств

что и означает:

Для доказательства теоремы применим критерий Коши:

сходится .

Но Поэтому получаем:

Опять применяя критерий Коши, видим, что сходится. Теорема доказана.

Если сходится, то говорят, что интеграл сходится абсолютно. Если же сходится, а расходится, то интеграл сходится условно.

Пример 6. Интеграл сходится условно.

Доказательство. Проверим сначала, что этот интеграл сходится. Применим для этого формулу интегрирования по частям:

.

Обратите внимание: подстановку бесконечного предела выполняем с помощью предельного перехода при . Предел очевидно, равен 0, так как ограниченная функция cosx умножается на бесконечно малую . Оставшийся интеграл сходится, причём абсолютно, так как интеграл сходится и можно применить признак сравнения.

Итак, сходится. Рассмотрим

Воспользуемся очевидным неравенством:

.

и докажем, что интеграл расходится. Тогда, по признаку сравнения, получим, что и тоже расходится. Модуль у функции можно не писать – при она неотрицательна.

В точности так же, как и для можно доказать, что сходится. А вот – очевидно, расходится. Значит, интеграл в левой части расходится (иначе, после переноса слагаемого, получилось бы, что расходящийся интеграл равен сумме двух сходящихся, а это невозможно).

Итак, расходится, значит и расходится, а сходится условно.