15.7 Упражнения для самостоятельной работы

1. Вычислить интегралы:

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Вычислить интегралы:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Вычислить интегралы:

а) ; б) ; в) ; г) .

4. Вычислить интегралы:

а) ; б) .

5. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой y  x³, прямой y  8 и осью OY.

6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x + y  5 , xy  4.

7. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

3x + 2y – 6  0 , 3x² – 2y  0 , y  0 .

8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y  4 – x² , y  x² – 2x.

9. Найти площадь фигуры, ограниченной первым витком спирали Архимеда и полярной осью .

10. Найти площадь, ограниченную кардиоидой .

11. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом

12. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой

13. Найти объём тела, полученного при вращении вокруг оси OX :

а) одной волны синусоиды ;

б) фигуры, ограниченной линиями

14. Найти объём тела, полученного при вращении вокруг оси OY :

а) фигуры, ограниченной линиями ;

б) фигуры, ограниченной линиями

15. Найти длину одного витка винтовой линии:

16. Найти длину линии, заданной уравнениями

если параметр t изменяется от 0 до

17. Найти длину параболы от вершины до точки

18. Найти длину дуги кривой если

19. Найти длину линии, заданной уравнением

а) ; б)

20. С какой силой тонкий однородный стержень длины L и массы M притягивает материальную точку массы m, лежащую на продолжении линии стержня на расстоянии d от одного из его концов? По закону Ньютона, сила притяжения двух точечных масс m₁ , m₂, находящихся на расстоянии r друг от друга, равна где G – гравитационная постоянная.

21. Вычислить работу, необходимую для выкачивания воды из резервуара, имеющего форму цилиндра высотой H  4 м и радиусом основания R  2 м .

22. Найти силу давления воды на прямоугольные ворота шлюза, имеющие 20 м в ширину и 16 м в глубину, если шлюз заполнен водой.

23. Определить массу шара радиуса R , если плотность в каждой его точке пропорциональна расстоянию от этой точки до центра шара.

15.8 Образец теста

(для дистанционной формы обучения)

1. Вычислить

2. Сколько функций из приведённого ниже списка интегрируемы по Риману на отрезке [0, 5] ?

3. Вычислить

4. Найти значение производной , если

5. Верхней суммой Дарбу функции на отрезке называется интегральная сумма , в которой

1) точки выбираются на правых концах отрезков ;

2) значение является наибольшим значением на отрезке ;

3) длины отрезков равны между собой.

Указать номер правильного ответа.

6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

y  x⁴ + 5, y 7 – x⁴ .