15.6 Задачи с решениями

1. Вычислить

Решение. Вычислим неопределённый интеграл (т.е. найдём первообразную), а затем применим формулу Ньютона – Лейбница:

2. Вычислить

Решение. Для вычисления интеграла сделаем замену переменной:

3. Вычислить

Решение. Применяем формулу интегрирования по частям:

4. Вычислить

Решение. Чтобы раскрыть модуль, можно представить интеграл в виде суммы двух интегралов:

Но проще – использовать то, что подинтегральная функция – чётная, поэтому (теорема 7 )

5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями

Решение. Сделаем схематический чертёж. Первая линия – парабола. Вторая линия симметрична относительно оси OY (так как является графиком чётной функции). При x > 0 функция убывает, стремится к 0 при x  ∞. Найдём точки пересечения графиков: . Решая биквадратное уравнение, находим: x₁  –1, x₂ 1. Площадь ищем как разность двух интегралов:

6. Найти площадь фигуры, ограниченной осью OX и одной аркой циклоиды

x  a(t – sin t), y  a(1 – cos t).

Р ешение. Циклоида задана параметрически. Сделаем схематический чертёж. Значению t  0 соответствует начало координат: x  0, y  0. При возрастании t абсцисса x возрастает (так как её производная всегда положительна), а ордината y при t  2 снова становится равной нулю: Этот участок циклоиды, соответствующий значениям параметра , и называется аркой.

Затруднительно вывести явную зависимость y  y(x), поэтому интеграл для вычисления площади преобразуем в интеграл по переменной t:

Получим:

.

7. Найти объём тела, полученного при вращении вокруг оси OY фигуры, ограниченной линиями

Решение. Сделаем чертёж. Тело вращения представляет собой цилиндр (его радиус основания и высота равны 1), из которого вырезана внутренняя часть, полученная при вращении кривой . Поэтому объём ищем в виде разности: V  V₁ – V₂. Здесь V₁ – объём цилиндра, V₁  r²h  . Объём V₂ ищем по формуле, выведенной в 15.5.2, учитывая, что вращение проводится вокруг оси OY: . Так как , то получаем: Окончательно находим:

.

8. Найти длину кардиоиды

Решение. Если кривая задана в полярной системе координат, то её длина L вычисляется по формуле: В случае кардиоиды . Вычисляем интеграл:

Здесь нельзя написать, что так как под интегралом – положительная функция, а отрицателен при . Поэтому представим интеграл в виде суммы двух слагаемых

9. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью V₀  10 м/сек. На каждую высоту оно поднимется? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Под действием силы тяжести скорость тела изменяется и зависит от времени t по закону: , где g – ускорение свободного падения. Найдём T – время движения до остановки:

Итак, время движения известно. Но пройденный путь мы умеем находить только при постоянной скорости, по формуле . Чтобы её применить, разобъём отрезок времени на такие малые отрезки , что скорость на каждом из них меняется незначительно. Будем считать, (допуская некоторую неточность), что скорость на отрезке времени постоянна и равна скорости в один из моментов . Тогда за время тело пройдёт путь . За всё время T пройденный путь составит . Неограниченно измельчая разбиения, получим точное равенство: .

Если V₀  10 м/сек, то м .