15.3 Формула Ньютона – Лейбница
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Возьмём какое-либо x[a,b]. Тогда наша функция непрерывна, конечно, на отрезке [a, x]. Значит, по теореме 1, существует интеграл
.
Мы
изменили обозначение для аргумента
функции – пишем f(t)
вместо f(x)
– для того, чтобы не смешивать его с
обозначением верхнего предела. Ясно,
что значение интеграла не зависит от
того, какой буквой обозначить переменную
интегрирования. Но значение этого
интеграла зависит от x,
поэтому получаем функцию
,
которая называется интегралом с переменным верхним пределом.
Теорема 3 ( теорема Барроу
). Если f(x)
непрерывна на [a,
b] , то
дифференцируема в каждой точке [a,
b], причём
Доказательство. Будем вычислять
F(x),
используя определение производной:
Вычислим сначала приращение
Мы использовали аддитивность определённого интеграла. Теперь применим другое свойство – теорему о среднем:
где
с
–
некоторая точка, лежащая между
x
и
Вернёмся к вычислению производной:
В
последнем равенстве использована
непрерывность: если
то
,
а значит и
.
Так как f
непрерывная функция, то отсюда следует,
что
Итак,
теорема Барроу доказана.
Следствие. Любая непрерывная
функция f(x) на
[a,
b]
имеет первообразную, причём
Заметим, что этот результат был сформулирован в теореме 4 из 14.1, а теперь получил полное доказательство.
Теорема 4 (основная теорема интегрального исчисления ). Если f(x) непрерывна на [a, b], Ф(x) – какая–либо её первообразная, то
Доказательство. Так как функция
является, по теореме Барроу, первообразной
для f(x), а
любые первообразные различаются на
постоянное слагаемое (теорема 1 из
14.1), то
где C
– некоторое число. В частности,
подставляя x
a
и x
b,
получим:
Из этих соотношений, очевидно, следует
что и требовалось доказать.
Доказанная формула называется формулой Ньютона – Лейбница. Она перебрасывает мостик между понятием определённого интеграла (имеющим много приложений) и понятием первообразной (или неопределённого интеграла). Для вычисления неопределённых интегралов в 14 модуле развита хорошая техника, которую теперь мы сможем применять к различным задачам геометрии и механики.
Для обозначения разности Ф(b) – Ф(a) удобно использовать так называемый знак подстановки:
.
Пример 1. Вычислить
определённый интеграл
Решение. Так как
первообразной для функции x2
является функция
, то, по формуле Ньютона-Лейбница,
находим:
Использование
любой другой первообразной (например,
) привело бы, конечно, к такому же
результату.
15.4 Приёмы вычисления определённых интегралов
При вычислении неопределённых интегралов мы пользовались формулой интегрирования по частям, методом подстановки (замены переменной). Научимся применять эти методы для вычисления определённых интегралов.
Теорема 5. Если u(x) , v(x) – непрерывно дифференцируемые на [a, b] функции, то
.
Доказательство. По условию, производные u, v непрерывны. Поэтому в известной формуле
и левая часть, и оба слагаемых в правой части являются непрерывными функциями. Значит, они интегрируемы, причём
Но
функция uv
является первообразной для
Поэтому
Учитывая, что
получаем:
или
что и требовалось.
Пример 2. Вычислить
.
Решение. Применим формулу интегрирования по частям.
При замене переменной в неопределённом интеграле нам приходилось для записи ответа возвращаться к исходной переменной. При вычислении определённого интеграла этого можно не делать, изменяя соответствующим образом пределы интегрирования.
Теорема 6. Пусть f(x) – непрерывная на [a, b] функция, а функция (t) непрерывно дифференцируема на [c, d], причём (с) a, (d) b. Тогда
.
Доказательство. Пусть F(x)
–
какая–либо первообразная для f(x).
Тогда функция F((t))
является первообразной
для функции
По свойствам непрерывных функций
непрерывна, а значит для неё можно
использовать формулу Ньютона-Лейбница:
Пример 3 . Вычислить
Решение. Воспользуемся заменой:
.
При интегрировании чётной или нечётной функции по отрезку, симметричному относительно x 0, удобно пользоваться следующими теоремами.
Теорема 7. Если f(x) – чётная функция, то
Доказательство.
Сделаем в первом интеграле замену
переменной:
Получим:
Теорема 8.
Если f(x) –
нечётная функция, то 
Доказательство. Так как
то
Пример 4. Вычислить
Решение. Так как подинтегральная функция нечётна, а пределы интегрирования симметричны относительно x 0, то интеграл равен нулю.