12.2 Правила дифференцирования

Вычисление производной по определению, с помощью предела, даже в простых случаях потребовало от нас некоторых усилий. Имеется более простой путь. В примерах 1– 6 найдены производные большинства основных элементарных функций. Мы вычислим производные оставшихся, а затем научимся дифференцировать функции, построенные из более простых с помощью арифметических действий и операции суперпозиции.

12.2.1 Производная суммы, разности, произведения, частного.

Теорема 2. Если функции f₁, f₂ дифференцируемы в точке x, то их сумма также дифференцируема, причём

.

Доказательство. Вычислим производную функции f₁ + f₂ в произвольной точке x, используя определение:

.

Теорема 3. Если f₁, f₂ дифференцируемы в точке x, то их произведение дифференцируемо, причём:

.

Доказательство.

.

В последнем равенстве мы, кроме определения производной, воспользовались тем, что функция f₂ непрерывна в точке x (следует из дифференцируемости по теореме 1), а значит .

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

(cf)  cf .

Доказательство. Производная константы равно 0 (см. пример 1), поэтому

(cf)   cf + cf   0 + cf  cf .

Следствие 2. Производная разности равна разности производных:

_.

Доказательство. . В последнем действии постоянный множитель (–1) вынесен за знак производной.

Теорема 4. Если f₁ и f₂ дифференцируемы в точке x, причём f₂(x)  0, то частное является дифференцируемой функцией и

.

Доказательство. Дадим, как обычно, приращение x переменной x. Тогда функции f₁, f₂ получат приращения, которые мы обозначим f₁, f₂. Приращение

функции y  , очевидно, равно:

.

Разделим на x и перейдём к пределу при x  0:

.

Использована непрерывность f₂: .

Пример 10. Вычислим производные тангенса и котангенса:

,

.

12.2.2 Производная обратной функции. В теореме 4 раздела 11.2 мы рассматривали вопрос о непрерывности обратной функции. Напомним: если функция y  f(x) непрерывна и строго возрастает в окрестности точки x₀, то в окрестности точки y₀  f(x₀) определена, непрерывна и строго возрастает обратная функция x  f^–1(y). Как найти её производную в точке y₀, если известна производная функции y  f(x) в точке x₀ ? Ответ даёт

Теорема 5. Пусть для функции y  f(x) в окрестности точки y₀  f(x₀) существует обратная функция x  f^–1(y). Если f дифференцируема в x₀, причём f (x₀)  0, то f^–1 дифференцируема в y₀, причём

.

Доказательство. Заметим, что если приращению x соответствует приращение y  f(x₀ + x) – f(x₀), то для обратной функции приращению аргумента y будет соответствовать приращение

f^–1(y₀ + y) – f^–1(y₀)  f^–1(f(x₀) + f(x₀ + x) – f(x₀)) – x₀  f^–1(f(x₀ + x)) – x₀  x.

Таким образом, можно сказать, что приращения x, y соответствуют друг другу.

Из дифференцируемости f(x) следует её непрерывность, а значит и непрерывность f^–1(y). Поэтому

x  0  y  0.

Теперь легко вычисляется производная обратной функции:

.

В качестве примеров применения теоремы 5 найдём производные обратных тригонометрических функций.

Пример 11. .

Действительно, обратной для функции y  arcsinx является функция x  siny. Её производную мы знаем: (siny)  cosy. Поэтому

.

Перед корнем мы берём знак «+», так как и, следовательно, cosy > 0.

Пример 12. .

Рассуждение аналогично: функция y  arccosx определена на отрезке [–1, 1], принимает значения на отрезке [0, ]. Обратная функция x  cosy дифференцируема, её производная (cosx)  – sinx не обращается в 0 (кроме концевых точек) и отрицательна на отрезке [0, ]. Поэтому

.

Пример 13. , .

Производные функций tgy, ctgy (обратных данным) вычислены в примере 10.

,

.

12.2.3 Таблица производных основных элементарных функций. Напомним (см. 10.1.3), что все элементарные функции получаются из нескольких основных с помощью арифметических действий и операции суперпозиции. В примерах 1 – 6, 10 – 13 получены формулы для производных всех основных элементарных функций. Чтобы их было удобней использовать (и чтобы лучше запомнить) сведём все формулы в одну таблицу.

Таблица производных

1. ; 2. ;

3. ; в частности ;

4. ; в частности ;

5. (sinx)  cosx ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. .

Добавим сюда формулы для производных гиперболических функций – их тоже полезно помнить. Советуем вывести эти формулы самостоятельно.

13. (sh x) ch x ; 14. (ch x) sh x ;

15. (th x) ; 16. (cth x) .

12.2.4 Производная сложной функции. Здесь мы рассмотрим самое важное правило дифференцирования – научимся дифференцировать суперпозицию функций (или, что то же самое, сложную функцию).

Теорема 6. Пусть функция y  g(x) дифференцируема точке x₀, функция z  f(y) определена в окрестности точки g(x₀) и дифференцируема в этой точке. Тогда сложная функция z  f(g(x)) дифференцируема в точке x₀, причём

z(x₀)  f (g(x₀))g(x₀).

Доказательство. Дадим приращение x переменной x и обозначим соответствующее приращение функции g(x) через g. Тогда g  g(x₀ + x) – g(x₀), т. е. g(x₀ + x)  g(x₀) + g. Заметим также, что из дифференцируемости g(x) в точке x₀ следует её непрерывность в этой точке: . Учитывая эти замечания, вычисляем производную:

.

Чтобы научиться применять эту терему, нужно хорошо уметь представлять функцию в виде суперпозиции более простых функций. Например, при вычислении функции y  sinx² сначала x возводят в квадрат, а затем вычисляют синус от полученной величины. Можно как–либо обозначить промежуточный результат:

y  sint , t  x².

Тогда, по теореме 6,

y  ( sint )  t  cos t  (x²)  cos(x²) 2x.

Пример 14. Найти производную функции y  (ln cosx)².

Решение. Представим функцию y(x) как суперпозицию, т. е. последовательное вычисление более простых функций: