15. 1 Определение и свойства определённого интеграла

Р ассмотрим задачу о вычислении площади криволинейной трапеции. Пусть – непрерывная на отрезке [a, b] функция, причём Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная графиком f(x), осью OX и прямыми x  a и x  b . Для определения её площади разобъём [a, b] на N частей (не обязательно равной длины ) точками x₀, x₁, x_2, ..., x_n так, чтобы x₀  a, x_n  b. Обозначим через длину i–го отрезка разбиения, т.е. . На i–ом отрезке возьмём произвольно точку _i :

(Напомним:  – буква «кси» греческого алфaвита). На каждом отрезке построим прямоугольник с основанием x_i и высотой f(_i) . Его площадь, как известно, есть произведение f(_i) x_i . Сумма площадей всех прямоугольников есть площадь так называемой ступенчатой фигуры. Очевидно, при мелких разбиениях её можно считать приближением площади криволинейной трапеции S :

.

Ошибка этого приближённого равенства тем меньше, чем мельче разбиение. Разберёмся, как можно сравнить мелкость двух разбиений. Мелкостью разбиения называется число

  max{ x_i } ,

т. е. максимальная среди длин отрезков разбиения. Теперь можно сказать, что если   0, то площадь ступенчатой фигуры стремится к площади криволинейной трапеции :

Однако в этом равенстве ещё много непонятного. Во–первых, пока мы пользуемся интуитивным представлением о том, что такое площадь фигуры. Далее, мы учились вычислять лишь пределы функций одной переменной при стремлении этой переменной к определённому значению. Здесь же – вместо функции от  – сумма, зависящая от выбора точек разбиения x₀, x₁, …, x_n и точек Постараемся уточнить этот подход, дадим точное определение.

Пусть f(x) – произвольная функция, определённая на [a, b]. Рассмотрим разбиение [ a, b] :

a  x₀, x₁, x_2, ..., x_n  b ,

выберем произвольно точки , i  1, 2 ,…, n. Сумма называется интегральной суммой Римана, соответствующей сделанному выбору.

Число I называется интегралом Римана (или определённым интегралом) функции f(x) по отрезку [ a, b], если такое, что для любого разбиения мелкостью меньше , при любом выборе точек _i справедливо неравенство:

.

Другими словами, число I является интегралом, если сумму можно сделать как угодно близкой к I за счёт измельчения разбиения. Можно употреблять и запись

имея ввиду это строгое определение.

Для определённого интеграла используется обозначение

Если такой интеграл существует, то f(x) называется интегрируемой на [a, b] . Числа a , b называются пределами интегрирования . Теперь мы можем сказать, что задача о площади криволинейной трапеции решается с помощью интеграла :

В определении интеграла предполагалось, конечно, что a < b. Удобно распространить эту запись и на другие случаи, считая по определению, что если a > b, то

а если пределы интегрирования совпадают, то

Вопрос о том, как вычислять такие интегралы, мы обсудим позже (в разделе 15.3 ). Сейчас рассмотрим свойства определённого интеграла.

Свойство 1. Если f(x) интегрируема на [a, b], то f(x) ограничена на [a, b].

Д оказательство проведём от противного: пусть f(x) не ограничена. Тогда для любого разбиения найдётся отрезок [x_i-1 , x_i], на котором функция не ограничена. (Для случая, изображённого на рисунке, это отрезок [x_n-1, x_n]). Теперь, за счёт выбора точки _i на этом отрезке, можно сделать слагаемое произвольно большим (не меняя других слагаемых). Тогда и вся сумма будет большой, независимо от мелкости разбиения. Это противоречит тому, что при мелких разбиениях интегральная сумма близка к определённому числу I (интегралу).

Замечание. Ограниченность – необходимое, но не достаточное условие интегрируемости. Рассмотрим пример ограниченной, но не интегрируемой функции. Пусть функция f(x) задана на отрезке [a, b] следующим образом:

Здесь Q – множество рациональных чисел. Очевидно, f(x) ограничена. Но как бы мелко мы ни разбивали отрезок [a, b], можно выбрать все _i рациональными, и тогда

А можно выбрать все _i иррациональными, а тогда Поэтому не существует числа, к которому стремится сумма при измельчении разбиений, независимо от выбора _i. Эта неинтегрируемая функция носит название функции Дирихле.

Свойство 2. Если f(x) M – постоянная на [a, b] функция, то

.

Доказательство очевидно – в этом случае все интегральные суммы одинаковы и совпадают с числом M(b-a):

Свойство 3 (линейность определённого интеграла ). Если функции f(x), g(x) интегрируемы на [a, b] то функции f(x) + g(x) , f(x) ( R ) также интегрируемы на [a, b] , причём

Доказательство. Обозначим , Тогда, по определению интеграла,

если только разбиение мельче ;

, если только разбиение мельче .

Возьмём теперь какое–либо разбиение мельче Тогда, при любом выборе точек , выполнены оба неравенства, а значит

Аналогично доказывается и второе соотношение: для любого числа и любого   0 можно взять настолько мелкое разбиение, что

Но тогда , а это, по определению интеграла, и означает, что

Свойство 4 (аддитивность). Если a  c  b и функция f(x) интегрируема на отрезках [a, c] и [c, b], то она интегрируема и на [a, b], причём

.

Доказательство. Обозначим По определению интеграла, > 0

, если соответствующее разбиение отрезка [a, c] мельче ₁;

, если только разбиение отрезка [c, b] мельче

Т ак как, по свойству 1, f(x) ограничена на [a, c] и на [c, b], то она ограничена и на [a, b]. Пусть Возьмём теперь и рассмотрим разбиение отрезка [a, b], мелкость которого меньше . Будем считать, что точка с не совпадает с точками x_i, разбивающими отрезок, а лежит внутри интервала (x_k, x_k+1). Это более трудный случай: если с  x_i , то доказательство очень просто. Проведём необходимые преобразования:

.

Заметим, что на отрезках [x_k, c], [c, x_k+1] при составлении интегральных сумм выбрана точка с. Это допустимо, так как интегралы I₁, I₂ существуют, а значит их отличие от интегральных сумм не зависит от выбора точек (а зависит лишь от мелкости разбиения). На последнем этапе преобразований мы воспользовались тем, что

,

а также тем, что .

Свойство 5. Пусть функция f(x) интегрируема на [a, b], функция g(x) отличается oт f(x) в конечном числе точек. Тогда g(x) тоже интегрируема на [a, b], причём

Доказательство. Пусть Рассмотрим функцию

Заметим, что она интегрируема, причём Действительно, в любой интегральной сумме имеется самое большее – одно ненулевое слагаемое:

Поэтому, если взять разбиение мельче то и что и означает равенство интеграла нулю.

Пусть функция g(x) отличается от f(x) в точках c₁, c₂, ... , c_n. Обозначим разности: g(c_i) – f(c_i)  A_i , i  1, …, n. Тогда справедливо соотношение :

(Действительно, если то g(x_i)  f(x_i), а все Если же x  c_i , то g(c_i)  f(c_i) + A_i, а все остальные слагаемые – нули).

Переходя к интегралам, пользуемся линейностью и тем, что .

Свойство 6 (интегрирование неравенств ). Если f(x), g(x) интегрируемые на [a, b] функции, причём f(x)  g(x) , то .

Доказательство. Рассмотрим функцию h(x)  f(x) – g(x) Ясно, что h(x)  0 Поэтому любая интегральная сумма неотрицательна: Значит и интеграл так как иначе получается противоречие с определением интеграла, с тем, что отличие интегральной суммы от интеграла может быть как угодно малым. Итак,

т.е. что и требовалось доказать.

Свойство 7 (теорема о среднем). Если f(x) непрерывна на [a, b] и существует то

Доказательство. По теореме 5 из раздела 11.2, непрерывная функция является ограниченной: По свойству 6 :

Применяем свойство 2 для вычисления интеграла от постоянной:

По теореме о промежуточных значениях для непрерывных функций (теорема 3 из 11.2), найдётся точка такая, что что и требовалось.