14.5 Интегрирование тригонометрических выражений

Рассмотрим сначала интегралы вида

,

т. е. научимся интегрировать рациональные выражения от sinx, cosx. Здесь используется универсальная тригонометрическая подстановка:

.

Через новую переменную t можем выразить sinx, cosx, dx:

.

Все полученные выражения рациональны, поэтому интегралы вида всегда выражаются через элементарные функции.

Пример 22. Вычислить .

Решение.

Рассмотрим, далее, интегралы вида

.

С помощью подстановки t  sinx или t  cosx такой интеграл сводится к интегралу от биномиального дифференциала (см. 14.4):

.

Если же m, n – целые числа, то применяются более простые приёмы. Пусть, например, m – нечётное число, m  2k+1:

,

получается интеграл от рациональной функции. Аналогично поступаем и в случае, если нечётной является степень косинуса. Если m, n – чётные числа, то используется подстановка t  tgx.

Пример 23. Вычислить .

Решение.

В случае положительных чётных показателей m, n удобно сначала понизить степень, используя тригонометрические формулы:

.

Пример 24. Вычислить .

Решение.

Интегралы от произведения функций sinx, cosx можно вычислить, преобразуя произведение в сумму.

Пример 25. Вычислить .

Решение. Воспользуемся формулой:

.

Получим:

14.6 Задачи с решениями

1. Вычислить интеграл .

Решение. Преобразуем подинтегральное выражение, воспользуемся свойством линейности интеграла:

.

Все полученные интегралы – табличные, вычисляются по формуле . Следовательно

2. Вычислить .

Решение. Преобразуем подинтегральное выражение так, чтобы получить табличные интегралы:

Здесь мы воспользовались формулами из таблицы интегралов:

.

3. Вычислить .

Решение. Преобразуем интеграл, используя приём введения под знак дифференциала:

.

Полученные интегралы – табличные, хотя переменная интегрирования не обозначена новой буквой. В таких простых случаях вводить новую переменную не обязательно. Применяя табличные формулы, получим:

.

4. Вычислить .

Решение. Заметим, что e^xdx  d(e^x), e^2x  (e^x)². Значит, замена t  e^x упрощает интеграл:

.

Осталось применить табличную формулу:

.

5. Вычислить интеграл , применив подстановку .

Решение. Так как подстановка указана, то нам нужно лишь аккуратно провести преобразования:

6. Вычислить интеграл , применив подходящую подстановку.

Решение. Подстановка не указана, нам нужно её подобрать. Вид подинтегральной функции подсказывает, что можно попробовать применить подстановку y  e^x (если не получится упростить интеграл, поищем другую подстановку).

.

Получается интеграл от рациональной дроби, для его вычисления имеется алгоритм (см. 14.3). Значит, мы правильно подобрали подстановку. Для продолжения решения разложим рациональную дробь в сумму простейших дробей:

При y  0: 1  –2B, т. е. ;

при y  2: 1  4C, т. е. ;

при y  1: 1  –A – B + C, т. е. .

Возвращаемся к интегралу:

7. Вычислить интеграл .

Решение. Для интегрирования произведения многочлена и трансцендентной функции часто бывает полезным применение формулы интегрирования по частям:

Полученный интеграл проще исходного – значит мы на верном пути. Ещё раз применим формулу интегрирования по частям:

.

Окончательно получаем:

.

8. Вычислить .

Решение. Под интегралом – правильная рациональная дробь. Разложим её в сумму простейших дробей:

Напомним: это равенство – равенство многочленов, т. е. тождество, справедливое при любом x. При x  –1: 1  3A, т. е. ; при x  0: 1  A + C, т. е. ; сравнивая коэффициенты при x² в обеих частях равенства, получим: 0  A + B, т. е. . Приступаем к вычислению интеграла:



9. Вычислить .

Решение. Требуется проинтегрировать рациональную дробь. Действуем по алгоритму, рассмотренному в 14.3. Дробь неправильная, поэтому начинаем с выделения целой части:

Следовательно, . Знаменатель x²+2x+3 не имеет, очевидно, действительных корней, поэтому дробь - простейшая, дальнейшее разложение не требуется.

Добавляя интеграл от целой части, получаем:

10. Вычислить .

Решение. Под интегралом встречается . Можно попробовать избавиться от корня с помощью тригонометрической подстановки (см. 14.4).

Можно сразу выразить t через x и подставить в эту формулу, но получится громоздкое выражение: . Лучше провести преобразование: x²  7tg²t 

. Отсюда . Значит, ответ можно записать в виде:

.

11. Вычислить .

Решение. Так как , то подинтегральное выражение имеет вид , т. е. рационально относительно . Наименьшее общее кратное показателей корней равно 4, поэтому сделаем подстановку :

.

Получился интеграл от рациональной дроби, можно действовать по обычным правилам. Но здесь возможен более короткий путь: заметим, что если ввести t² под знак дифференциала:

,

то функция упрощается после замены t³  s. Так и поступим:

Возвращаясь к исходному интегралу, запишем ответ:

.

12. Вычислить .

Решение. Под интегралом – произведение степеней функций sinx, cosx. Степень синуса нечётна, поэтому введём синус под дифференциал: sin³x dx  –sin²x d(cosx). Под дифференциалом косинус, оставшаяся степень синуса – чётная, а значит легко выражается через косинус. После замены косинуса новой переменной интеграл упрощается:

13. Вычислить .

Решение. Для интегрирования трансцендентных функций нет универсального метода . Попытаемся применить формулу интегрирования по частям, обозначив, например, u  e^2x, dv  cos3x dx:

Новый интеграл не проще (и не сложнее) исходного – кажется, формула интегрирования по частям не ведёт к решению. Попробуем, однако, применить её ещё раз.

Мы вновь пришли к исходному интегралу! Но получено соотношение, позволяющее этот интеграл (обозначим его буквой I) найти:

.

Отсюда , т. е. .