14.4 Интегрирование иррациональных выражений

Мы использовали запись R(x) для обозначения рационального выражения (функции) от x, т. е. для отношения двух многочленов. Перейдём к более общему случаю: будем обозначать через R(u₁, u₂,…,u_n) рациональное выражение от u₁, u₂, …, u_n, т. е. отношение двух многочленов от этих переменных. Можно считать, что R(u₁, u₂, …, u_n) – любое выражение, которое можно получить из u₁, u₂, …, u_n и действительных чисел с помощью четырёх арифметических действий.

Пример 16. а)  рациональное выражение от ;

б)  рациональное выражение от sinx, cosx;

в) , и т. д.

Научимся сначала вычислять интегралы вида .

С помощью подстановки они сводятся к интегрированию рациональной функции: . Производная от рациональной функции есть тоже, очевидно, рациональная функция, поэтому

Подставляя в начальный интеграл, приходим к интегралу от рациональной функции:

.

Пример 17. Вычислить интеграл .

Решение. Данный интеграл – частный случай интеграла вида – здесь n  2, a  1, b  2, c  0, d  1. Применим подстановку :

Замечание. Если под интегралом встречаются корни различных степеней из одного и того же выражения , то нужно применить подстановку , где N – наименьшее общее кратное показателей корней.

Пример 18. Преобразовать к интегралу от рациональной функции.

Решение. Данный интеграл – частный случай интеграла вида . Применим подстановку , так как наименьшее общее кратное показателей корней равно 6:

.

Получили интеграл от неправильной рациональной дроби, который, после выделения целой части, легко вычисляется.

Рассмотрим теперь интеграл вида ,

где m, n, p – рациональные числа. Подинтегральное выражение в этом случае называется биномиальным дифференциалом. Такие интегралы уже не всегда выражаются через элементарные функции. Точнее, справедлива

Теорема 10 (теорема П.Л.Чебышева). Биномиальный дифференциал интегрируется в конечном виде тогда и только тогда, когда хотя бы одно из чисел является целым.

Доказательство теоремы Чебышева не входит в нашу программу, однако для каждого из трёх случаев укажем подстановку, приводящую подинтегральное выражение к рациональному виду.

Если p – целое число, то следует взять , где N – наименьшее общее кратное знаменателей чисел m, n.

Если - целое число, то используется подстановка , где k – знаменатель числа p.

Если – целое, то используется подстановка , где k – знаменатель числа p.

Пример 19. Вычислить интеграл .

Решение. Так как , то подинтегральное выражение есть биномиальный дифференциал, причём m  –1, n  5, . Проверяем, выполнено ли хотя бы одно из трёх условий теоремы Чебышева. Число – дробное; число – целое. Значит, интеграл вычисляется в конечном виде, и нужно применить подстановку :

.

Получен интеграл от рациональной функции, метод его вычисления – в разделе 14.3.

Ещё один тип интегралов рассматривается в следующей теореме.

Теорема 11. Интегралы вида

всегда выражаются через элементарные функции.

Доказательство. Покажем, как свести этот интеграл к интегралу от рациональной функции. Для этого используются так называемые подстановки Эйлера.

Если a > 0, то применяется первая подстановка Эйлера, новая переменная t вводится по формуле:

.

После возведения этого равенства в квадрат, можно найти:

.

Подставляя в исходный интеграл, получим интеграл от рациональной функции.

Если c > 0, то применяется вторая подстановка:

.

Преобразования интеграла аналогичны.

Третья подстановка используется, если квадратный трёхчлен ax²+bx+c имеет действительные корни , . Тогда, как известно

ax²+bx+c  a(x – )(x – ),

и следует ввести новую переменную t так:

.

Здесь опять x, , dx легко выражаются через t рациональным способом.

Охватывают ли рассмотренные 3 случая все возможности? Да, можно даже обойтись без второй подстановки. Если a > 0, то применяется первая подстановка. Если a < 0, то корни трёхчлена ax²+bx+c должны быть действительными – в противном случае , а значит и вся подинтегральная функция, не определена ни в одной точке. Следовательно, если a < 0, то можно применять третью подстановку. Случай a  0 рассмотрен в начале этого раздела. Теорема доказана.

Подстановки Эйлера часто приводят к громоздким вычислениям. На практике обычно пользуются другими приёмами. Например, для вычисления интеграла вида

достаточно выделить под корнем полный квадрат и сделать соответствующую замену переменной. Покажем это на примере.

Пример 20. Вычислить .

Решение.

В более сложных случаях после выделения полного квадрата под корнем могут быть полезны тригонометрические подстановки. Не приводя строгих формулировок, рекомендуем пользоваться следующим правилом. Если под интегралом встречается , то нужно попытаться применить подстановку x  a tgt; если имеется , то взять ; если имеется , то взять x  a sint. В результате таких подстановок получается тригонометрическое выражение, которое часто интегрировать легче, чем исходное.

Пример 21. Вычислить .

Решение.

.