14.2.3 Интегрирование по частям.

Теорема 7. Если u  u(x), v  v(x) – дифференцируемые на (a, b) функции, и существует, то существует и , причём

.

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Обозначение независимой переменной x опущено здесь для краткости.

Доказательство. По свойству дифференциала:

d(uv)  udv + vdu,

udv  d(uv) – vdu.

Вычисляем неопределённый интеграл от каждой части равенства. По теореме 2: . Константу C можно не писать, так как выражение суммируется с другим неопределённым интегралом, также содержащим произвольную постоянную. Получим: , что и требовалось.

Формулу интегрирования по частям следует применять в тех случаях, когда вычисляется легче, чем . Можно дать более конкретные рекомендации для некоторых видов функций. Например, она применяется для вычисления интегралов вида

,

где P(x) – многочлен, g(x) – одна из функций a^x, sinx, cosx. В этом случае следует обозначить: u  P(x), dv  g(x)dx.

Если же в интеграле такого же вида g(x) – одна из функций log_ax, arcsinx, arctgx, то нужно взять u  g(x), dv  P(x)dx. Впрочем, если вы перепутаете и обозначите за u не то, что следует – вы скоро увидите свою ошибку, так как интеграл не упростится, а усложнится. Конечно, формула интегрирования по частям применяется и в других случаях.

Пример 10. Вычислить .

Решение. Под интегралом многочлен P(x)  x умножается на показательную функцию g(x)  e^x. В этом случае многочлен обозначаем за u, тогда dv  e^xdx. Интеграл принимает вид . Чтобы применить формулу интегрирования по частям, нужно ещё знать du и v. Но если u  x, то du  dx (вычисляем дифференциал), и если dv  e^xdx, то (вычисляем интеграл; произвольную постоянную не пишем – нам здесь нужна какая–нибудь функция v(x), дифференциал которой равен e^xdx ).

Кратко вычисления записываем так:

.

Пример 11. Вычислить .

Решение

Здесь, после применения формулы интегрирования по частям, нам пришлось сделать замену переменной. Полученный при этом интеграл – табличный.

14.3 Интегрирование рациональных выражений

Дробно–рациональной функцией, или рациональной дробью называется функция

,

где P_n(x), Q_m(x) – многочлены степени n и m соответственно, причём m  0. Рациональная дробь называется правильной, если n < m, и неправильной, если n  m.

Пример 12. Рациональные дроби являются правильными. Рациональные дроби – неправильные.

Лемма 1. (о выделении целой части). Любую рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.

Доказательство. Если дробь правильная, то можно считать, что многочлен (целая часть) нулевой, и требуемое представление получено. Пусть n  m, т. е. дробь неправильная. Разделим P_n(x) на Q_m(x) с остатком (см. часть 1, раздел 6.3):

P_n(x)  Q_m(x)h(x) + r_k(x),

причём k < m. Тогда

,

h(x) – многочлен (целая часть), – правильная дробь.

Лемма 1 показывает, что нам нужно научиться интегрировать правильные дроби, так как интегрировать многочлен мы умеем.

Лемма 2. Пусть – правильная рациональная дробь, причём Q(x)   (x–c)^kQ₁(x), а многочлен Q₁(x) не делится на x–c (другими словами, x  c – корень кратности k многочлена Q(x)).

Тогда существует число AR и многочлен P₁(x) (с действительными коэффициентами) такие, что

.

Доказательство. Преобразуем равенство, которое хотим получить, умножив обе его части на Q(x):

P(x)  AQ₁(x) + (x–c)P₁(x).

В частности, это должно выполнятся и при x  c: P(c)  AQ₁(c); отсюда находим: . При таком A рассмотрим многочлен P(x)  AQ₁(x). Число c является, конечно, его корнем. Поэтому, по теореме Безу (см. часть 1, раздел 6.4), он делится на (x–c). Частное от этого деления и обозначим P₁(x):

P(x) – AQ₁(x)  (x–c)P₁(x).

Ясно, что найденные A, P₁(x) удовлетворяют нашим требованиям.

Лемма 3. Пусть – правильная рациональная дробь, причём Q(x)   (x²+px+q)^ Q₁(x), где Q₁(x) уже не делится на x²+px+q, а многочлен x²+px+q не имеет действительных корней.

Тогда существуют числа M, N  R и многочлен P₁(x) (с действительными коэффициентами) такие, что

.

Доказательство аналогично предыдущему, хотя и немного сложнее. Не будем проводить его подробно. Укажем лишь, что для отыскания чисел N, M составляется система 2–х уравнений с помощью подстановки комплексно сопряжённых корней многочлена x²+px+q.

Теорема 8. Пусть – правильная рациональная дробь. Разложим знаменатель Q(x) на множители над полем R (см. часть1, раздел 6. 4):

Тогда существуют действительные числа A₁, A₂, …, B₁, B₂, …, M₁, N₁, M₂, N₂,… такие, что

+

.

Доказательство состоит в многократном применении лемм 2 и 3. Каждое

применение леммы 2 «отщепляет» одну простейшую дробь первого типа: и уменьшает показатель степени скобки (x–c) в разложении знаменателя на единицу. Аналогично, применение леммы 3 «отщепляет» дробь вида (простейшая дробь второго типа). Итоговая формула громоздка, но легко поясняется на примерах. Полезно пользоваться простым правилом: каждой скобке в знаменателе соответствует столько простейших дробей, какова степень этой скобки.

Пример 13. Разложить в сумму простейших дробей функцию .

Решение. Заметим прежде всего, что дробь правильная (степень числителя 3, степень знаменателя 4), поэтому выделять целую часть нам не придётся. Знаменатель уже разложен на множители, поэтому сразу пользуемся правилом теоремы. Множитель x входит в 1–й степени, поэтому ему соответствует 1 простейшая дробь, множитель (x–1) входит в 3–й степени, поэтому ему соответствуют 3 простейшие дроби:

.

Все простейшие дроби  1–го типа, так как соответствуют линейным множителям.

Остаётся вопрос: как найти числа A, B, C, D ? Избавимся в полученном выражении от знаменателей (умножая обе части равенства на x(x–1)³ ):

x³ + 1  A(x–1)³ + Bx + Cx(x–1) + Dx(x–1)².

Нам требуется найти такие числа A, B, C, D, чтобы это равенство было тождеством, т. е. выполнялось при любом x. Подставляя наиболее удобные значения x, получим 4 уравнения для определения A, B, C, D.

При x  0: 1  –A;

при x  1: 2  B;

при x  2: 9  A + 2B + 2C + 2D;

при x  –1: 0  – 8A – B + 2C – 4D.

Отсюда находим: A  –1, B  2, C  1, D  2. Следовательно

.

Замечание. Часто применяется другой способ составления системы уравнений для определения коэффициентов A, B, C, D. Рассмотренное выше тождество является равенством многочленов, т. е. выполняется тогда и только тогда, когда многочлены в левой и правой части имеют равные коэффициенты при одинаковых степенях x. В нашем примере:

при x³: 1  A + D;

при x²: 0  – 3A + C – 2D;

при x: 0  3A + B – C + D;

при x⁰ (свободные члены): 1  – A.

Решая, получим тот же результат: A  – 1, B  2, C  1, D  2.

Пример 14. Разложить в сумму простейших рациональную дробь .

Решение. Множитель (x²+4) дальше нельзя разложить над полем R, поэтому ему будет соответствовать простейшая дробь 2 типа. Запишем разложение с неопределёнными коэффициентами:

.

Избавимся от знаменателей:

6x²–3x+22  A(x²+4) + (Mx+N)(x–1).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений:

Решая систему, найдём: A5, M 1, N–2. Итак, .

Научимся теперь интегрировать простейшие дроби. Дроби 1 типа интегрируются просто:

.

При k 1 используется другой табличный интеграл:

.

Рассмотрим простейшие дроби 2 типа: . Выделим полный квадрат в знаменателе: .

Мы обозначили для краткости, учитывая, что дискриминант (по определению простейшей дроби), а значит .

Вычисляем интеграл с помощью замены переменной:

Интеграл в первом слагаемом вычисляется легко: Если   1, то

Если  > 1, то

Интеграл второго слагаемого при   1 является табличным:

.

Если  > 1, то следует применить подстановку t  a tgz:

.

Интеграл от косинуса в чётной степени вычисляется путём понижения степени, используя формулу . Более подробно интегрирование тригонометрических выражений будет рассматриваться ниже, в разделе 14.5.

Пример 15. Вычислить .

Решение. Под интегралом – простейшая дробь 2 типа. Применим рассмотренный выше алгоритм:

. (*)

Первый интеграл легко сводится к табличному:

.

Во втором интеграле сделаем замену переменной:

Вернёмся к начальной переменной x:

.

Чтобы подставить z в выражение sin2z, проведём преобразования:

.

Поэтому

.

Подставляем найденные интегралы в формулу (*):

.

Подведём итог. Любое рациональное выражение мы научились представлять в виде суммы многочлена и нескольких простейших дробей, научились интегрировать эти дроби. Следовательно, можно считать доказанной следующую теорему.

Теорема 9. Неопределённый интеграл от произвольной рациональной дроби выражается через элементарные функции.