13.7 Упражнения для самостоятельной работы

1. Вычислить пределы:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) .

2. Найти многочлен 3–й степени, наилучшим образом приближающий данную функцию в окрестности точки x  0:

а) f(x)  arcsinx; б) ;

в) f(x)  sh x; г) f(x)  ln(1+sinx).

3. Оценить погрешность приближённого равенства при его использовании для значений .

4. Оценить погрешность равенства для .

5. С помощью формулы Тейлора вычислить значения указанных выражений с заданной точностью .

а) ln1,2 , 0,001; б) ; в) sin1^o, 0,0001.

6. Провести полное исследование функций, построить их графики.

а) y  1x²+2x⁴; б) ;

в) y  ; г) y  ln(x² + 4x) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) y  x  2arctgx;

и) y  sinxsin2x; к) .

7. Найти наименьшее и наибольшее значения функций на указанных отрезках.

а) y  x³12x, x[5, 3]; б) y  x²e^–x, x[1, 3];

в) y  x⁵+2x³+x, x[1, 2]; г) y  cos2x  2sinx, x[0, 2].

8. Бак цилиндрической формы без крышки должен вмещать V литров воды. Каковы должны быть его размеры, чтобы на его изготовл ение потребовалось наименьшее количество железа?

9. Одна сторона прямоугольного участка земли площадью 800 м² примыкает к реке, остальные огораживаются забором. Каковы должны быть размеры участка, чтобы длина забора была наименьшей?

10. Два корабля плывут с постоянными скоростями v₁ , v₂ по взаимно перпендикулярным прямым, приближаясь к O – точке пересечения этих прямых. В некоторый момент времени корабли находились от точки O на расстояниях a, b соответственно. Через какое время расстояние между кораблями станет минимальным (и начнёт увеличиваться)? Чему равно минимальное расстояние?

13.8 Образец теста

(для дистанционной формы обучения)

1. Вычислить предел .

2. Для функции f(x) записана формулу Тейлора:

f(x)  1+2(x1)+3(x1)²+4(x1)³+r₃(x).

Найти значение её производной 2–го порядка в точке x  1.

3. Верно ли, что по теореме Ролля производная функции f(x)  x на отрезке [1, 1] в некоторой точке обращается в 0 ? Указать номер правильного ответа.

1. нет, так как теорема Ролля справедлива только для элементарных функций;

2. нет, так как f ′(0) не существует, а значит теорему Ролля применить нельзя;

3. да, так как f ′(0)  0;

4. да, так как f(1)  f(1) 1.

4. Найти точку минимума функции y  x²(x15).

5. Найти угловой коэффициент правой асимптоты функции .

6. Найти наибольшее значение функции y  x³4x²+9 на отрезке [5, 5].

14 Неопределённый интеграл

Мы переходим к интегрированию. В этом модуле рассмотрим вычисление неопределённых интегралов – действие, обратное дифференцированию. Сразу отметим, что таких простых и исчерпывающих правил, как для дифференцирования, для интегрирования нет. Мы познакомимся лишь с основными приёмами, позволяющими интегрировать некоторые функции.

14.1 Определения и свойства

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a, b), если F(x)  f(x) для любого x из (a, b). Ясно, что если F(x) – первообразная для f(x), C – число, то F(x) + C – тоже первообразная для f(x), так как

(F(x) + C) F(x) + C  f(x) .

Таким образом, первообразных для функции может быть много.

Пример 1. Для функции y  sinx первообразными на всей прямой R являются функции y  – cosx, y  3 – cosx, y  7 – cosx, и т. д.

Оказывается, верно и обратное: любые первообразные для данной функции отличаются на постоянное слагаемое.

Теорема 1. Если F₁(x), F₂(x) – первообразные для f(x) на интервале (a, b), то F₁(x) – F₂(x)  CR.

Доказательство. Обозначим h(x)F₁(x)–F₂(x). Тогда

.

По следствию из теоремы Лагранжа (см. 13.1): h(x)  const  С.

Множество всех первообразных для f(x) называется неопределённым интегралом от функции f(x) на данном интервале. Неопределённый интеграл обозначается так:

.

Здесь – значок интеграла, f(x) – подинтегральная функция, dx – дифференциал переменной x. Такая запись употребляется не только в силу традиций, она поможет нам лучше освоить технику интегрирования.

Пусть F(x) – какая–либо первообразная для f(x). Теорема 1 показывает, что

 { F(x) + C | CR }.

Обычно используют более простую запись

 F(x) + C,

не забывая, конечно, что это множество функций; при этом C называют произвольной постоянной.

Замечание. Подчеркнём, что первообразная для данной функции всегда рассматривается на некотором (конечном или бесконечном) интервале – даже если об этом явно не говорится. Отказаться от этого требования и рассматривать первообразную на любом множестве, где выполняется равенство F(x)  f(x), нельзя. Например, теорема 1 перестаёт быть справедливой.

Пример 2. Первообразной для функции является функция y  lnx, так как . Однако lnx имеет смысл только при x > 0. Для отрицательных x:

,

поэтому при x < 0 первообразной для является ln(–x). Можно свести обе формулы в одну, используя модуль: . Тогда получим:

.

Это справедливо на любом интервале, не содержащем точку x  0.

То обстоятельство, что интегрирование и дифференцирование – действия взаимно обратные, подчёркнуто ещё раз в следующей теореме.

Теорема 2.

Доказательство. Так как подинтегральное выражение f(x)dx представляет собой дифференциал функции F(x):

f(x)dx  F(x)dx  dF(x),

то получаем, что для любой дифференцируемой функции

Аналогично получается и второе соотношение:

Теорема 3. Если для функций f₁(x), f₂(x) существуют первообразные, R, то

Другими словами, интегрирование – линейная операция, т. е. интеграл от суммы функций равен сумме интегралов, постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Доказательство. Пусть F₁(x), F₂(x) – первообразные для f₁(x), f₂(x). Тогда ясно, что F₁(x)+F₂(x) – первообразная для f₁(x)+f₂(x). Поэтому . С другой стороны,

Здесь C₁+C₂, как и C, может принимать любое значение из R, поэтому

F₁(x)+F₂(x)+C  F₁(x)+F₂(x) + (C₁+C₂)

и первое равенство доказано.

Аналогично получается и второе равенство:

так как F₁(x) – первообразная для f₁(x), C принимает любое числовое значение.

Следствие.

Доказательство. Разность можно представить в виде

f₁(x) – f₂(x)  f₁(x) + (–1)f₂(x).

Применяя теорему 3, получаем требуемое.

Замечание. Не существует общих формул для интегрирования произведения, частного, сложной функции.

Теорема 4. Если f(x) непрерывна на интервале (a, b), то для неё существует на (a, b) первообразная.

Доказательство этой теоремы будет дано ниже, в разделе 15.3.

Замечание. Для некоторых непрерывных функций первообразные не являются элементарными функциями. Например, не существует элементарной функции, производная которой равна . Соответствующие интегралы иногда называют «неберущимися», хотя правильнее сказать, что они не берутся в классе элементарных функций. Такими являются, например, интегралы.

Важно подчеркнуть: эти интегралы существуют, но являются некоторыми новыми функциями. Пока мы их не встречали и не рассматривали, но они активно используются во многих областях науки и техники, составлены подробные таблицы для вычисления значений некоторых интегралов.