13.5 Задачи на наибольшее и наименьшее значения

Практические задачи часто приводят к необходимости отыскать наибольшее или наименьшее значение функции. Если функция задана и непрерывна на отрезке [a, b], то такие значения существуют (см. 11.2).

Рассмотрим, например, наибольшее значение функции на отрезке. Если оно достигается во внутренней точке [a, b], то, конечно, совпадает с одним из локальных максимумов (самым большим из них). Но наибольшее значение может достигаться и на одном из концов отрезка [a, b].

Таким образом, из всех максимумов нужно выбрать наибольший, а затем сравнить его со значениями функции на концах отрезка. На практике поступают ещё проще: находят критические точки 1–го рода («подозрительные на экстремум») и, не проводя их дальнейшего исследования, вычисляют в них значения функции. Вычисляют также значения функции на концах [a, b]. Из всех полученных чисел выбирают наибольшее (или наименьшее).

Пример 18. Найти наибольшее и наименьшее значения функции yx³6x²+9x+5 на отрезке [0, 5].

Решение. Найдём критические точки:

y′  3x²12x+9;

y′  0  3x²12x+9  0  x²4x+3  0;

решая квадратное уравнение, получим: x₁  1, x₂  3.

Находим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

y(0)5, y(1)9, y(3)5, y(5)25.

Итак, наибольшее значение y(5)  25, наименьшее y(0)  y(3)  5.

К рассмотренному типу сводятся многие задачи с практическим содержанием. Приступая к решению такой задачи, следует определить, какую функцию нужно рассмотреть, от какой переменной зависит эта функция. Исходя из условия, выразить исследуемую величину через эту переменную (т. е. задать функцию аналитически). Кроме того, нужно найти область изменения переменной (т. е. область определения функции). После этого, задача решается так же, как в примере 18.

Пример 19. Человек находится в a5 километрах от прямолинейного берега реки. Вниз по реке, на расстоянии L6 км от ближайшей к человеку точки O берега находится пункт A. Скорость человека на суше V₁5 км/час, на воде (с учётом течения) V₂10 км/час.

a) Какой выбрать маршрут, чтобы добраться до пункта A за наименьшее время?

б) Решить ту же задачу, если течение медленное, и V₂  6 км/час.

Р ешение. Сделаем рисунок. Ясно, что человек должен двигаться по прямой к берегу и затем плыть вниз, используя течение. Его маршрут определяется точкой берега, где начинается водная часть пути. Пусть расстояние от этой точки до точки O равно x. Функция, которую необходимо рассмотреть – время пути:

TT(x).

Время есть сумма времени движения по суше и времени движения по воде:

.

Ясно, что 0  x  L, другие маршруты нерациональны. Получили математическую модель нашей задачи: в какой точке достигается наименьшее значение функции T(x) на отрезке [0, L] ?

Находим производную и критические точки:

.

В нашей задаче a5 км, L6 км, V₁5 км/ч, V₂10 км/ч. Получаем:

км.

Находим значение функции на концах отрезка и в данной точке:

.

Наименьшее время T= 1,466 , двигаться нужно в точку x  2,9 км.

Если же изменить условие, считая V₂6км/ч, то критическая точка , не входит в рассматриваемый отрезок [0, L]. Значит, наименьшее значение достигается на одном из концов промежутка. Вычислим значения на обоих концах: T(0)  2, ,562 . В этом случае оптимальный маршрут – при x  6, т. е. нужно идти весь путь по суше.