1.3. Волны в упругой среде.

Рекомендуется изучить §§ 93-98 учебного пособия И.В. Савельева "Курс общей физики", т.2. М. Наука, 1982 г.

Процесс распространения колебаний в упругой среде называется волной. В волновом процессе имеет место следующее соотношение:

 = vT,

где  – длина волны,

Т – период колебаний,

v – скорость распространения волны (фазовая скорость).

Уравнение плоской волны имеет вид:

,

где s – смещение колеблющейся точки от положения равновесия,

A – амплитуда колебаний,

 – частота колебаний,

– волновое число,

r – расстояние, пройденное волной от источника колебаний до рассматриваемой точки.

Разность фаз двух колеблющихся точек, находящихся на расстояниях r₁ и r₂, от источника колебаний, равна:

,

где – разность хода волн.

Уравнение стоячей волны:

,

где  и  – постоянные, которые определяются начальными и граничными условиями

– амплитуда стоячей волны,

– фаза стоячей волны.

20

Пример 7. Плоская монохроматическая волна распространяется вдоль прямой, совпадающей с положительным направлением оси 0x в среде, не поглощающей энергию, со скоростью v  15 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстояниях x₁  5 м и x₂  5,5 м от источника колебаний, колеблются с разностью фаз   /5. Амплитуда волны A  0,04 м. Определить: 1) длину волны , 2) уравнение волны, 3) смещение s₁ первой точки в момент времени t₁  3 с.

Дано:

v  15 м/с

x₁  5 м

x₂  5,5 м

  /5

A  0,04 м

t₁  3 с

1)  = ?

2) s(x,t) = ?

3) s₁ = ?

Решение:

Уравнение плоской монохроматической волны, распространяющейся вдоль оси x имеет вид:

,

где s – смещение колеблющейся точки,

A – амплитуда волны,

– фаза волны,

– циклическая частота колебаний,

  vT – длина волны (наименьшее расстояние между точками волны, колебания которых отличаются по фазе на 2).

Разность фаз колебаний двух точек волны:

.

Отсюда:

.

, .

Следовательно:

.

21

Искомое уравнение волны:

.

Смещение первой точки в момент времени t₁  3 с:

.

Ответ: 1)  = 5 м, 2) , 3) s₁ = 0,04 м.

Пример 8. Один конец упругого стержня длиной L соединен с источником гармонических колебаний s(t)  A sint. Другой конец жестко закреплен. Определить характер колебаний в любой точке стержня. Найти координаты точек стержня, в которых амплитуда колебаний минимальна и максимальна.

Дано:

s(t)  Asint

s(L,t)  0

s(х,t)  ?

x_min = ?

x_max = ?

Решение:

Колебания от источника колебаний (x  0) будут распространяться вдоль стержня, т.е. вдоль стержня (вдоль оси x) будет распространяться упругая волна частоты  со скоростью v. Дойдя до места закрепления волна отразится, при этом ее фаза меняется на  (жесткое закрепление).

До точки с координатой х отраженная волна проходит путь:

r = L + (L –x) = 2L – x.

Уравнение падающей волны:

,

где – волновое число,

 – длина волны.

Уравнение отраженной волны:

,

.

22

Наложение падающей и отраженной волн образуют стоячую волну, которая и определяет характер колебаний в любой точке стержня:

.

Амплитуда стоячей волны:

.

Амплитуда колебаний точек зависит от их координаты x.

Найдем координаты узлов, т.е. точек где амплитуда колебаний минимальна.

A_ст.в.  0,

если:

k(L-x)  m, (m  0, 1, 2, ...).

,

.

Найдем координаты пучностей, т.е. точек где амплитуда колебаний максимальна.

A_ст.в.  2А,

если:

, (m  0, 1, 2, ...).

,

.

Ответ: ,

, m  0, 1, 2, ... ,

, m  0, 1, 2, ... .

23