X  Acos(t  ),

где A – амплитуда колебаний,   t  ₀ – фаза, ₀ – начальная фаза,  – циклическая частота.

Для определения амплитуды A учтем, что скорость v и ускорение колеблющегося тела равны:

,

.

Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на тело равна:

F  ma  ‑ m²Acos(t  ₀).

Учтем, что F  F_max, если cos(t  ₀)  1, поэтому максимальное значение силы F_max  m²A.

Полная энергия колеблющегося тела равна сумме кинетической и потенциальной энергий:

W  W_k  W_p W_{k max} = W_{p max},

следовательно:

,

т.к. v_max  A.

Учтя выражение для F_max, имеем:

,

8

откуда:

.

Циклическая частота:

.

Проверка размерности:

, .

Вычисляя, получим: A  0,05 м,    рад/с.

Искомое уравнение гармонического колебания:

м.

Ответ: м.

Пример 2. Уравнение изменения силы тока в колебательном контуре со временем дается в виде i(t)  – 0,02·sin(400t) A. Индуктивность контура 1 Гн. Найти: 1) период колебаний; 2) емкость контура; 3) максимальное напряжение на конденсаторе; 4) максимальную энергию магнитного поля катушки индуктивности; 5) максимальную энергию электрического поля конденсатора.

Дано:

i(t)  – 0,02·sin(400t) A

L = 1 Гн

1) T = ?, 2) C = ?,

3) U_m = ?,

4) W_Lmax = ?, 5) W_Cmax = ?

Решение:

Из уравнения колебаний силы тока:

i(t)  ‑ 0,02·sin(400t)

следует, что максимальное (амплитудное) значение силы тока:

I_m  0,02 A,

частота колебаний:

  400  рад/с.

9

1) Период колебаний .

2) , следовательно .

Проверим размерность:

.

.

3) Напряжение на конденсаторе:

.

Пусть , тогда из определения силы тока следует:

,

т.е. амплитуды колебаний заряда и тока связаны соотношением:

I_m = q_m или .

Уравнение колебаний напряжения:

,

где – максимальное напряжение на конденсаторе (амплитуда напряжения).

Размерность:

.

Вычисления:

.

10

4) Энергия магнитного поля , максимальная энергия магнитного поля .

.

5) Энергия электрического поля , максимальная энергия электрического поля .

.

.

Ответ: 1) Т = 5мс, 2) С = 0,63 мкФ, 3) U_m = 25,2 В,

4) W_{L max} = 0,2 мДж, 5) W_{C max} = 0,2 мДж.

Пример 3. Собственная частота колебаний контура ₀ = 8 кГц, добротность контура Q  72. В контуре возбуждаются затухающие колебания. Найти закон убывания запасенной в контуре энергии W со временем, если в начальный момент времени энергия, запасенная в контуре равна 50 мкДж.

Дано:

₀ = 8·10³ Гц

Q = 72

W₀ = 50·10^–6 Дж

W(t) = ?

Решение:

Уравнение затухающих колебаний заряда на конденсаторе:

,

где – циклическая частота затухающих колебаний, ₀ – собственная циклическая частота контура,  – коэффициент затухания.

11

Получим уравнение затухающих колебаний силы тока. Для простоты положим начальную фазу равной нулю (₀ = 0).

,

.

Пусть , , , тогда:

.

Уравнение затухающих колебаний силы тока:

.

Энергия, запасенная в конденсаторе:

.

Энергия, запасенная в катушке индуктивности:

,

где ,

т.к. собственная частота контура .

Полная энергия контура:

.

12

Уравнение изменения полной энергии контура:

.

Если коэффициент затухания мал по сравнению с собственной частотой контура , то запасенная в контуре энергия убывает во времени по закону ( при выполнении контрольной работы эту формулу можно брать за исходную ).

Найдем коэффициент затухания , предполагая что ₀ >> .

Добротность контура при малом затухании:

,

где   T ‑ логарифмический декремент затухания, T ‑ период затухающих колебаний.

,

где ₀  2₀ – связь циклической и линейной частот.

Добротность:

,

Коэффициент затухания:

.

Проверим выполняется ли условие ₀ >> :

.

Условие ₀ >>  выполняется.

Подставим числа в выражение для энергии:

.

Ответ: .

13

Пример 4. Электрическая цепь состоит из активного сопротивления R, конденсатора емкостью C и катушки индуктивности L, соединенных последовательно с генератором переменного напряжения. ЭДС генератора изменяется по закону е = Е_m·cos(ωt). Найти зависимость от времени силы тока i(t), напряжения на активном сопротивлении u_R(t), напряжения на конденсаторе u_C(t) и напряжения на катушке u_L(t).

Дано:

R, C, L

е = Е_m·cos(ωt)

i(t), u_R(t), u_C(t), u_L(t) = ?

Решение:

Пусть заряд конденсатора меняется по закону:

,

где q_m – амплитуда заряда, ω – частота ЭДС, φ – разность фаз между ЭДС и зарядом.

Сила тока:

,

где – амплитуда тока,

– разность фаз между ЭДС и током.

Напряжение на активном сопротивлении:

,

где – амплитуда напряжения на активном сопротивлении.

Колебания тока и напряжения на активном сопротивлении происходят в одинаковой фазе.

Напряжение на конденсаторе:

,

где –амплитуда напряжения на конденсаторе,

– емкостное сопротивление, .

14

Колебания напряжения на емкостном сопротивлении отстают по фазе на от колебаний тока.

Напряжение на катушке индуктивности:

,

где –амплитуда напряжения на катушке индуктивности,

Колебания напряжения на индуктивном сопротивлении опережают по фазе на колебания тока.

П остроим векторную диаграмму и найдем амплитуду тока и разность фаз между током и ЭДС.

Амплитуда силы тока:

.

Разность фаз:

.

Ответ: ,

, где ,

, где ,

, где .

15