20. Интегрирующие цепи. Требования к интегрирующим цепям в частотной и временной областях.

ИНТЕГРИРУЮЩАЯ ЦЕПЬ- электрическая цепь, в которой выходное напряжение U вых(t)(или ток) пропорционально интегралу по времени от входного напряжения U вх(t) (или тока):

21. Классический метод анализа переходных процессов. Подключение последовательно соединённых R, L и C элементов к источнику постоянного напряжения. Законы изменения тока и напряжения при колебательном характере переходного процесса.

Классический метод анализа переходных процессов основан на составлении системы дифференциальных и алгебраических уравнений с использованием уравнений для элементов и законов Кирхгофа для мгновенных токов и напряжений в цепи:

.

Все катушки и обмотки электрических аппаратов и машин имеют сопротивление R и индуктивность L. Поэтому исследуемую электрическую цепь, изображенную на рис. 12.2, можно считать эквивалентной схемой индуктивной катушки или обмотки, включаемой на постоянное напряжение.

Рис. 12.2. Схема подключения цепи с последовательным соединением элементов с R и L к источнику постоянного напряжения

В начальный момент времени тока в цепи нет и энергия магнитного поля индуктивной катушки равна нулю.

После подключения цепи к источнику постоянного напряжения U в ней протекает ток I и энергия магнитного поля LI2/2 > 0. Следовательно, в то время, когда происходит, изменение энергии магнитного поля индуктивной катушки (от 0 до LI2/2), в цепи протекает переходный процесс; и существует переменный ток i. Переходный процесс в такой цепи описывается дифференциальным уравнением (по второму закону Кирхгофа)

Ток в установившемся режиме i' = I = U/R. Свободный ток i" находят, решая однородное дифференциальное уравнение

Решение этого уравнения ищут в виде

где коэффициент р — корень характеристического уравнения Lp + R = 0.

Таким образом, р = —R/L, а ток в переходном режиме

Постоянную интегрирования ^ А определяем с учетом первого закона коммутации из начальных условий: при t = 0 ток в цепи равен нулю. Получаем

А = —U/R.

Величина = L/R имеет размерность времени и называется постоянной времени цепи. Она характеризует скорость протекания переходного процесса. Чем больше (больше L), тем дольше протекает ток i" и тем длительнее переходный процесс.

Как видно из рис. 12.3, свободный ток i" при t = 0 равен по значению установившемуся току I, но имеет обратное направление. С течением времени этот ток уменьшается до нуля. Общий ток в цепи изменяется от нуля до установившегося значения по экспоненциальному закону. При t= i" = —Iе -1.

Рис. 12.3. Изменение токов в цепи с по- Рис. 12.4, Изменение напряжения на следовательным соединением элементов резисторе и индуктивной катушке

с R и L при включении на постоянное при включении цепи на постоянное напряжение напряжение

Это означает, что постоянная времени цепи равна такому промежутку времени, в течение которого свободный ток уменьшается в раз.

В моменты времени t = k значения свободного тока i" == I/k и по отношению к значению установившегося тока соответственно составляют (%): 36,00 (при t =); 13,50 (t = 2); 5,00 (t = З); 1,80 (t = 4); 0,67 (t = 5); 0,25 (t= 6).

Из этих данных следует, что уже при t = 5. ток в цепи отличается оттока I менее чем на 1 %, поэтому его можно считать установившимся.

Падение напряжения на резисторе и R = Ri изменяется по такому же закону, что и ток. Падение напряжения на индуктивной катушке

т. е. убывает с течением времени от значения напряжения источника питания до нуля (рис. 12.4).

Включение рассматриваемого контура на постоянное напряжение может сопровождаться колебательным переходным процессом. При этом в отличие от процесса разряда конденсатора (см. п. 5.6) знак начального значения преходящего напряжения, следовательно, и коэффициента А, изменится на противоположный. Переходные напряжения и ток приобретут вид:

Кривые uC(t) и i(t) показаны на рис. 5.18. Кривая тока отображает затухающие колебания относительно нулевого значения, а напряжения на конденсаторе – относительно установившегося значения. Следует отметить, что за время переходного процесса контура часть энергии источника переходит в тепло, а другая часть запасается в электрическом поле конденсатора.

22. Дифференцирующие цепи. Требования к дифференцирующим цепям в частотной и временной областях.

ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩАЯ ЦЕПЬ - устройство, предназначенное для дифференцирования по времени электрич. сигналов. Выходная реакция Д. ц. uвых(t) связана со входным воздействием uвх(t) соотношением , где - пост. величина, имеющая размерность времени. Различают пассивные и активные Д. ц. Пассивные Д. ц. применяют в импульсных и цифровых устройствах для укорачивания импульсов. Aктивные Д. ц. используют как дифференциаторы в аналоговых вычислит. устройствах. Простейшая пассивная Д. ц. показана на рис. 1, а. Ток через ёмкость пропорционален производной приложенного к ней напряжения.

23. Преобразование Лапласа. Требования к функциям, преобразуемым по Лапласу. Свойства преобразования Лапласа.

Преобразова́ние Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.

Свойства:

1. Линейность.

2. Теорема подобия.

3. Дифференцирование оригинала.

4. Дифференцирование изображения.

5. Интегрирование оригинала.

6. Интегрирование изображения.

7. Теорема запаздывания.

8. Теорема смещения.

9. Теорема умножения.

10. Предельные соотношения.