12 Свойства преобразования Фурье .Теоремы о спектрах( с доказательствами)

Свойствами преобразований Фурье определяется взаимное соответствие трансформации сигналов и их спектров.

1. Линейность. Преобразование Фурье относится к числу линейных интегральных операций, т.е. спектр суммы сигналов равен сумме спектров этих сигналов.

a_ns_n(t)   a_nS_n(). (4.3.1)

Пример суммирования сигналов и его отображения в суммирования спектров приведен на рис. 4.3.1:

Рис. 4.3.1. Сигналы и их спектры. s0(k)=s1(k)+s2(k)  S1()+S2() = S0().

Сигнал s(t)	Спектр S()
Четный	Вещественный, четный
Нечетный	Мнимый, нечетный
Произвольный	Действительная часть – четная. Мнимая часть - нечетная

2. Свойства четности преобразования определяются косинусными (четными, действительными) и синусными (нечетными, мнимыми) частями разложения и подобием прямого и обратного преобразований.

На рис. 4.3.2. приведены примеры, поясняющие свойства четности преобразования. Сигнал s1(k) является четным, s1(k) = s1(-k), и имеет только вещественный четный спектр (мнимая часть спектральной функции представлена нулевыми значениями). Сигнал s2(k) = -s2(-k) нечетный и имеет мнимый нечетный спектр, а нулевыми значениями представлена его действительная часть. Сигнал s3(k) образован суммой сигналов s1(k) и s2(k). Соответственно, спектральная функция сигнала представлена и действительной четной частью (принадлежащей s1(k)), и мнимой нечетной частью (принадлежащей s2(k)). При обратном преобразовании Фурье раздельно действительной и мнимой части спектра S3(), равно как и любых других комплексных спектров, будут раздельно восстановлены четная и нечетная части исходного сигнала.

Заметим, что произвольный исходный сигнал может быть задан в одностороннем варианте (в интервале 0-Т), но четная и нечетная части этого сигнала занимают интервал от –Т до Т, при этом на левой половине числовой оси (от –Т до 0) эти два сигнала компенсируют друг друга, давая нулевые значения.

Рис. 4.3.2. Свойства четности преобразования.

13 Второй закон коммутации

Напряжение на конденсаторе С непосредственно до коммутации   равно напряжению во время коммутации и напряжению на конденсаторе непосредственно после коммутации  , так как невозможен скачок напряжения на конденсаторе:

Коммутация - это действие вызывающее переходный процесс. Переходный процесс - процесс перехода из одного устойчивого состояния в другое. Устойчивое состояние электрической  цепи - состояние при котором токи и напряжения цепи либо не меняются, либо периодически повторяются во времени. Согласно второму закону коммутации напряжение на конденсаторе не может измениться скачком (то есть оно (напряжение) изменяется плавно при любых изменениях в цепи (хотя существуют некорректные коммутации при которых это не заметно

Второй закон коммутации связан с непрерывностью изменения электрического поля емкости WC =Cu2/2: в начальный момент t = 0+ непосредственно после коммутации напряжение на емкости имеет то же значение, что и в момент t = 0– до коммутации и с этого момента плавно изменяется:    (6.2)

В отличие от тока в индуктивности iL и напряжения на емкости uC напряжение на индуктивности uL и ток в емкости iC могут изменяться скачком, так как согласно (1.9) и (1.12) они являются производными от iL и uC и с ними непосредственно не связана энергия магнитного и электрического полей. Значения токов в индуктивности iL(0+) и напряжений на емкостях uC(0+) образуют начальные условия задачи. В зависимости от начального энергетического состояния цепи различают два типа задач расчета переходных процессов: задачи с нулевыми начальными условиями, когда непосредственно после коммутации (при t = 0+) iL(0+) = 0; uC(0+) = 0 (т. е. WL(0+) + WC(0+) = 0) и задачи с ненулевыми начальными условиями, когда iL(0+)   0 и (или) uC(0+)   0 (т. е. WL(0+) + WC(0+)   0). Нулевые и ненулевые значения начальных условий для iL и uC называются независимыми, а начальные условия остальных токов и напряжений зависимыми. Независимые начальные условия определяются с помощью законов коммутации (6.1)

__________________________________________________________________________

Одномоментная схема замещения цепи получается из схемы замещения цепи после

коммутации путём замены индуктивности идеальным источником тока )0( L

J , а ёмкости – идеальным источником эдс )0( EC. При этом величина тока источника тока

равна току индуктивности, который не меняется в момент коммутации

iJ . Величина идеальной эдс равна напряжению на конденсаторе,

которое также не меняется в момент коммутации  )0()0( uE CC. Величины

прочих (внешних) источников тока и (или) эдс берутся применительно к моменту времени t  0.

14Преобразование Лапласа имеет вид :   (1) f(t)×e^-pt , где р – комплексное число р = ( а + i b).

На  f(t) наложены условия :

1) f(t) определена и непрерывна на всем интервале: (-¥ ; ¥ )

2) f(t) º 0 , t Î (- ¥ ;0)

3) При  M, S₀ >0 , для всех t > 0 выполняется условие |f(t)|<Me ^S0t

Если отказаться от условий 2 и 3|f(t)| < Me ^S0t, и считать, что f(t) принимает произвольное значение при t < 0, то вместо (1) можно рассмотреть следующий интеграл : (2)

Формула (2) – двустороннее преобразование Лапласа.

Пусть в (1) и (2)  p =a + in, где a и n – действительные числа.

Предположим, что Re(p) = a = 0, т.е  (4)(5)

(4) и (5) соответственно односторонние и двусторонние преобразования Фурье.

Для существования преобразования Фурье, функция должна удовлетворять условиям :

1) Должна быть определена на промежутке (-¥ ; ¥ ) , непрерывна всюду, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода.

2) Любой конечный промежуток оси t можно разделить на конечное число промежутков, в каждом из которых функция либо кусочно-гладкая, либо кусочно-монотонная.

3) Функция абсолютно интегрируема : , это условие выполняется, если |f(t)|<Me ^S0t

Из существования преобразования Лапласа не следует преобразование Фурье. Преобразования Фурье существуют для более узкого класса функций. Преобразования Фурье не существуют для постоянной и ограниченной функции : f(t) = C

Аналогично преобразования Фурье не существуют и для гармоничных функций :т.к

Если  f(t) = 0 при t>0 и преобразование для этой функции существует, то оно может быть получено из таблицы оригиналов и изображений для преобразования Лапласа путем замены параметра t на iu, но при этом необходимо убедиться, что F(p) не обращается в число справа от мнимой оси.

Если  f(t) ¹ 0, t<0 (6) Обозначим Очевидно, что    (6’)

Функция (6) называется спектральной плотностью

В связи с изложенным можно указать два пути отыскания спектральной плотности :

1) Вычисление интеграла (5)

2) Использование преобразования Лапласа или Фурье.

Непосредственное вычисление спектральной плотности для абсолютно интегрируемой функции.

Функция F(iu) может быть представлена, как комплексная функция действительной переменной (7)

|F(iu)| - амплитудное значение спектральной плотности, y (u) – фазовый угол.

В алгебраической форме : F(iu) = a(u) +ib(u)   (8)     (9)

Для непосредственного вычисления спектральной плотности вычисляется интеграл (6), а затем по формулам (8) и (9) определяется амплитудное значение |F(iu)|  и фазовый угол y (u).

Пример.

Найти спектральную плотность импульса :откуда , далее

Отыскание спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций.

Прямое преобразование Фурье для таких функций не существует, существует преобразование Лагранжа.

Прямое преобразование Фурье необходимо :

1) Для облегчения процесса решения дифференциальных и интегральных уравнений.

2) Для исследования амплитудной и частотной характеристик спектральной плотности, определенной всюду на числовой оси.

Введем следующее определение спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций:

Если для заданной функции y=f(t) существует непрерывное изображение по Лапласу F(p), то спектральной плотностью функции называется изображение функции по Лапласу при p = iu.

Спектральной плотностью  F₁(iu) неабсолютно интегрируемой функции называется предел от спектральной плотности F₂(iua) абсолютно интегрируемой функции

15.Определение зависимых и независимых начальных условий. Схема замещения ЛЭЦ при t = 0. Привести примеры.

Независимые начальные условия — электрические параметры, которые не изменяются скачком в момент коммутации, то есть, остаются неизменными в начале переходного процесса в электрической цепи.

Зависимыми начальными условиями называются значения остальных токов и напряжений, а также производных от искомой функции в момент коммутации, определяемые по независимым начальным условиям при помощи уравнений, составляемых по законам Кирхгофа для . Необходимое число начальных условий равно числу постоянных интегрирования.

Итак, ЛЭП характеризуется активным сопротивлением Rл, реактивным сопротивлением линии хл, активной проводимостью Gл, реактивной проводимостью Вл. В расчетах ЛЭП может быть представлена симметричными П- и Т- образными схемами.

п-образная