53. Временные характеристики электрических цепей. Переходная характеристика её виды и размерность Способы определения h(t)

 рассмотренных методах анализа переходных процессов связь между воздействующим на цепь сигналом f₁(t) и выходной величиной f₂(t) выражалась косвенно — либо в виде операторной передаточной функции K(s), представляющей отношение изображений по Лапласу обоих сигналов F₁(s) и F₂(s), либо посредством дифференциального уравнения, связывающего f₁ и f₂. Такие способы описания динамических свойств цепи не несут в явном виде информацию о скорости протекания переходных процессов; получить ее можно при изучении реакции цепи на типовые воздействия — входные сигналы стандартного вида — единичную и -функции. Реакция цепи — выходная величина f₂(t) при подаче на вход единичной функции f₁(t) = 1(t) — называетсяпереходной характеристикой цепи h(t), реакция на -импульс — импульсной характеристикой h_(t).

Переходную и импульсную характеристики можно найти с помощью операторного метода. При f₁(t) = 1(t) F₁(s) = 1/s; изображение выходной величины h(t) тогда равно F₂(s) = (1/s)K(s). Поэтомуh(t) — это оригинал последней функции. Аналогично при f₁(t) = (t) F₁(s) = 1, F₂(s) = K(s), и обратное преобразование Лапласа передаточной функции дает h_(t).

Переходную характеристику цепи первого порядка h(t) можно найти и более просто. Поскольку реакция такой цепи на единичное воздействие представляет сумму постоянной величины и одного экспоненциального члена h(t) = A₁ + A₂ e^–t/, то для нахождения обеих констант достаточно определить выходную величину h(0) при t = 0 и h() при t = . Рассмотрение обоих режимов сводится к анализу чисто резистивной цепи. Режим при t = 0 рассчитывают при нулевых начальных условиях. В результате для обеих постоянных получим A₁ = h(); A₁ + A₂ = h(0). Поэтому для цепи первого порядка переходная характеристика выражается как:

h(t) = h() + [h(0)  h()] e^–t/.

Постоянную времени  определяют, находя эквивалентное сопротивление резистивных элементов цепи относительно зажимов индуктивности или емкости при исключенном источнике

Размерность h(t) определяется размерностью входного и выходного сигналов, каждый из которых может являться напряжением или током; размерность h_(t) равна размерности соответствующей переходной характеристики, деленной на время.

Если реакция цепи определяется на той же паре зажимов, что и возбуждение, то вместо K(s) выступает входная величина Z(s) или Y(s); вместо h(t) имеем переходное сопротивление z(t) или проводимость y(t), вместо h_(t) — z_(t) или y_(t)  — импульсные сопротивление или проводимость.

Из приведенных операторных соотношений следует, что переходная и импульсная характеристики связаны между собой следующим образом:

 или  .

Для простейших цепей, изображенных на рис. 20.1, а,б, h(t) = 1 – e^–t/. Характеристику  h_(t) получим путем дифференцирования: h_(t) = dh/dt = (1/)e^–t/.

Рис. 20.1

Для цепей (рис. 20.1, в, г) имеем: h(t) = e^–t/. Здесь формальное применение связи h_ = dh/dt даст неверный результат. Поэтому определим h_ как оригинал передаточной функцииK(s) = (s)/(1 + s). Так как она представляет неправильную дробь, перед применением теоремы разложения следует выделить целую часть: K(s) = 1 – 1/(1 + s). Оригинал первого слагаемого  —-функция, и в результате для цепей рис. 20.1, в,г имеем:

h_(t) = (t)  – (1/)e^–t/.

Очевидно, что при дифференцировании h(t) мы получили только второе слагаемое, поскольку приведенное выражение для h(t) справедливо только при t > 0, а при t < 0 всегда имеем h(t) = 0 (рис. 20.2). 

Рис. 20.2

Поэтому для получения h_  путем дифференцирования h(t) следовало бы написать h(t) = 1(t)e^–t/, и тогда дифференцирование произведения даст правильный результат. В первом примере (рис. 20.1, а,б) это несущественно, поскольку h(0) = 0, и при дифференцировании ничего не теряется. Поэтому следует либо исправить формулы, связывающие h_ и h, либо учитывать множитель 1(t). С учетом сказанного связи между h_ и h можно записать так:

h_(t) = h(0)t) + dh/dt;

.

По указанному признаку все цепи можно разделить на два класса: 1) цепи с ограниченной импульсной характеристикой (h(0) = 0); 2)  цепи с неограниченной импульсной характеристикой (h_(0) = (h(0) 0). Множитель 1(t), входящий во все выражения h и h_, при записи обычно опускают.

5-54. Расчёт электрических цепей гармонического тока. МУН в комплексной форме.

Любую гармоническую функцию  можно изобразить в виде вектора (рис. 4.1, а), а каждому вектору можно поставить в соответствие комплексное число (рис. 4.1, б).

 

Существуют три формы записи комплексного числа

1.  - показательная (А - модуль комплексного числа, - его аргумент);

2.  - тригонометрическая;

3.  - алгебраическая (а - вещественная часть, б - мнимая

часть).

Переход от одной формы записи к другой можно осуществить с помощью формул:

 

;  ;                                                                   (4.1)

;      .

 

Необходимо запомнить:

 

;     ;     ;     .                           (4.2)

 

Комплексной амплитудой   называется комплексная величина, модуль которой равен амплитуде синусоидального тока, а аргумент - начальной фазе.

В  раз меньшую величину называют комплексным действующим

значением - комплексным током.

 

 

Аналогично

- комплексная амплитуда напряжения;

- комплексное напряжение.

 

Составим новое комплексное число

 

которое называется вращающимся вектором тока.

Разложим  по формуле Эйлера:

 

             (4.5)

 

Следовательно, синусоидальный ток является мнимой частью вращающегося вектора, т.е.

,

где j - знак мнимой части.

Часто величины i, u, называют оригиналами, а   – их комплексными изображениями. Примеры:

 

1)      ;

2)      ;

3) 

Метод узловых напряжений

 

       Методом узловых напряжений (МУН) можно определить значения токов и напряжений в электрической цепи, если найти потенциалы узлов, отсчитанные относительно некоторого одного узла, называемого базисным или опорным. Потенциал базисного узла принимается равным нулю. Напряжения в узлах цепи, отсчитанные относительно опорного, называются узловыми напряжениями.

       Для цепи, имеющей   независимых узлов, каноническая система узловых уравнений имеет вид:

G₁₁U₁ – G₁₂U₂ – … – G_1NU_N = EG + J

– G₁₁U₁ + G₂₂U₂ – … – G_2NU_N = EG + J

– G_N1U₁ – G_N2U₂ – … – G_NNU_N = EG + J

 

где G₁₁, G₂₂ … G_NN – собственные проводимости 1 – го, 2 – го …

N – го узлов, равные сумме проводимостей ветвей, сходящихся в 1 – м,

2 – м … N – м узле;

G_KM = G_MK – взаимные (общие) проводимости между узлами К и М, равные сумме проводимостей ветвей, содержащие эти узлы;

EG, EG … EG – алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей,

примыкающих к 1 – му, 2 – му … N – му узлу, на их проводимости;

J,J …J – алгебраическия сумма токов источников тока,

 присоединенных к соответствующему узлу.

Правила составления уравнений по МУН

Со знаком «+» в уравнение по МУН записывается узловое напряжение того узла, относительно которого составляется уравнение, все остальные – со знаком «».

Задающие токи источников ЭДС и тока берутся со знаком «+», если направление источников ориентированно к узлу, относительно которого составляется уравнение, и со знаком «»  если от узла.

При наличии в схеме ветви с идеальным источником ЭДС необходимо принять за опорный узел один из узлов к которому присоединена данная ветвь. Тогда узловое напряжение другого узла будет равным величине ЭДС.

Порядок расчета по МУН

1.     Определяется число уравнений;

2.     Выбирается опорный узел;

3.     Составляется и решается система уравнений по МУН;

4.     По закону Ома определяются токи ветвей.

2-56. Комплексная мощность в цепи гармонического тока. Баланс мощности.

Ток, значение и направление которого повторяются через равные промежутки времени, называется переменным. Если характер изменения тока соответствует функциям синуса или косинуса, то его называют гармоническим. Гармоническими также могут быть ЭДС и напряжения. При действии гармонических ЭДС в линейных цепях форма напряжений и токов на элементах соответствует гармоническим функциям.

В промышленности в подавляющем большинстве случаев источниками гармонических ЭДС являются синхронные генераторы — электрические машины, ротор которых приводится во вращение от первичных источников энергии (паровых и водяных турбин, двигателей внутреннего сгорания, ветровых установок и т. п.).

Для гармонической функции  ), которая является простейшей периодической функцией времени  , справедливо равенство   где   — период. Согласно равенству значение функции как по величине так и по знаку повторяется через целое число периодов.

Величина   называется циклической частотой и имеет размерность Гц = 1/c (герц).

Для исследования процессов в цепях гармонического тока применяются синусоидальная и косинусоидальная формы представления гармонической функции. Косинусоида может рассматриваться как сдвинутая синусоида, поэтому выбор формы представления гармонической функции не имеет принципиального значения.

На рис. 3.1,а— изображена синусоидальная функция

(3.1)

а на рис. 3.1,б — косинусоидальная функция

(3.2)

где   — максимальное значение или амплитуда;

, радиан/с — угловая частота или скорость изменения аргумента (угла);   — начальная фаза, зависящая от смещения гармонической функции относительно начала координат.

Рис. 3.1

Начальная фаза   является знаковой величиной. Для синусоиды она определяется отрезком на оси абсцисс от точки перехода синусоиды от отрицательного значения к положительному до начала координат. Если направление перемещения между указанными точками совпадает с направлением положительной оси абсцисс, то начальная фаза имеет положительное значение (рис. 3.1,а). Начальная фаза для косинусоиды измеряется отрезком от положительного максимума функции до оси ординат. Знак начальной фазы определяется совпадением или несовпадением направления перемещения между указанными границами с положительным направлением оси абсцисс.

В качестве аргумента гармонических функций может быть принят угол   или время  . Аргументу   соответствует период  , а аргументу   — период  . Аргумент  может измеряться в радианах или в градусах. В тех же единицах измеряется и начальная фаза.

Величина   определяющая текущее значение функции, называется фазовым углом или просто фазой.

Среднее значение гармонической функции определяется на интервале времени, равному полупериоду  , так как среднее значение гармонической функции за период  равно нулю. Так например, среднее значение тока   будет

(3.3)

По аналогии среднее значение напряжения может быть определено как

(3.4)

Действующее значение периодической функции   определяется формулой

(3.5)

В соответствии с этим действующее значение тока   будет:

(3.6)

Действующее значение переменного тока эквивалентно такому значению постоянного тока, при котором на сопротивлении выделяется одинаковое количество теплоты с переменным током за одинаковое время.

Аналогично действующее значение гармонического напряжения

(3.7)

Номинальные значения токов и напряжений электротехнических устройств указываются, как правило, в действующих значениях.

Мгновенные значения функции вида   можно получить как проекцию на вертикальную ось координатной системы вращающегося с угловой частотой   в положительном направлении (против часовой стрелки) вектора   (рис. 3.2).

В момент времени   = 0 вектор образует с осью абсцисс угол  , а его проекция на вертикальную ось при условии   равна   . За время   вектор повернется на угол  , а относительно горизонтальной оси угол поворота вектора составит  . Его проекция на вертикальную ось при этом будет равна   Выполняя аналогичные построения для других моментов времени, можно построить смещенную синусоиду на интервале периода.

Рис. 3.2

Из приведенных построений следует, что рассмотрение гармонических колебаний можно заменить рассмотрением вращающихся векторов. Если имеется несколько вращающихся с одинаковой угловой частотой векторов, то их взаимное положение остается неизменным. Диаграмма, изображающая взаимное расположение векторов в момент времени   = 0, называется лучевой векторной диаграммой, а каждый из векторов, соответствующий определенной гармонической функции, называется изображающим вектором.

Векторное представление гармонических функций упрощает сложение и вычитание этих функций. Эти операции сводятся к геометрическому сложению и вычитанию изображающих векторов.

Векторы, изображающие синусоидальную и косинусоидальную функции, взаимно перпендикулярны, что следует из равенства

(3.8)

Векторные диаграммы могут быть построены как для амплитудных, так и для действующих значений гармонических функций. Важно, чтобы все изображающие векторы на диаграмме соответствовали или амплитудным, или действующим значениям гармонических функций.

Кривые мгновенных значений функций в зависимости от времени называются временными диаграммами.

Баланс мощностей

Баланс мощностей является следствием закона сохранения энергии и может служить критерием правильности расчета электрической цепи.

а) Постоянный ток

Для любой цепи постоянного тока выполняется соотношение:

(14)

 

Это уравнение представляет собой математическую форму записи баланса мощностей: суммарная мощность, генерируемая источниками электрической энергии, равна суммарной мощности, потребляемой в цепи.

Следует указать, что в левой части (14) слагаемые имеют знак “+”, поскольку активная мощность рассеивается на резисторах. В правой части (14) сумма слагаемых больше нуля, но отдельные члены здесь могут иметь знак “-”, что говорит о том, что соответствующие источники работают в режиме потребителей энергии (например, заряд аккумулятора).

б) Переменный ток.

Из закона сохранения энергии следует, что сумма всех отдаваемых активных мощностей равна сумме всех потребляемых активных мощностей, т.е.

(15)

 

В ТОЭ доказывается (вследствие достаточной громоздкости вывода это доказательство опустим), что баланс соблюдается и для реактивных мощностей:

,

(16)

 

где знак “+” относится к индуктивным элементам , “-” – к емкостным .

Умножив (16) на “j” и сложив полученный результат с (15), придем к аналитическому выражению баланса мощностей в цепях синусоидального тока (без учета взаимной индуктивности):

или .