ТФКП_1_2 / tfkp

13

e−αt

1

p + α

πt

− α 2

−α

1

e

p

14

e 4t

πt

p

1

− α

sin 2

αt

1

15

e

p

πα

p

p

1

− α

cos 2

αt

1

16

e

p

πα

p

1

1

1

e−

17

sin

p sin

p

πt

2t

p

1

1

1

e−

18

cos

p cos p

πt

2t

p

19

1

sinωt

p2 + ω 2

− p

πt

p

2

+ ω

2

1

cosωt

p

2

+

ω

2

+ p

πt

20

p 2

+ ω 2

Пример 1.

x''+a2 x = b sin at , начальные данные x(0) = x , x'(0) = x ,

0

1

b sin at ÷ b

a

, поэтому

p2 + a2

( p2 + a2 ) X ( p) =

ab

+ px + x , X ( p) =

ab

+ x

p

+ x

1

p2 + a2

( p2

+ a2 )2

+ a2

0

1

0 p2 + a2

1 p2

Согласно 5 из таблицы

px0

÷ x0 cos at ,

p2 + a2

согласно 4 из таблицы

x1

÷ x1

sin at

,

p2 + a2

a

согласно 6 из таблицы t sin at ÷

Im( p + ia)2

=

2 pa

, отсюда, используя свойство

( p2 + a2 )2

( p2 + a2 )2

t

2a

интегрирования оригинала, получим ∫t sin atdt ÷

, откуда

( p

2

+ a

2

)

2

0

ab

b

t

b

÷

∫t sin atdt =

(sin at − at cos at). Окончательно

2

+ a

2

2

2

( p

)

2

0

2a

b

sin at

b

sin at

bt

x(t) =

(sin at − at cos at) + x cos at + x

=

x

+

+ x

−

cos at

2a2

0

1

a

1

2a

a

0

2a

(p+1)3X(p)=1/p, X ( p) =

1

=

1

−

1

−

1

−

1

. Откуда

p( p + 1)3

p

p + 1

( p + 1)2

( p + 1)3

x(t) = 1 − e−t − te−t −

t 2

e−t

2

Пример 3. x′′′+x=1, нулевые начальные условия.

X ( p) =

1

Оригинал находим по второй теореме Хевисайда

p( p3 + 1)

x(t) = H (t)∑Re s

e pt

p( p

3

+ 1)

k

∑Re s = Re s

e pt

+ Re s

e pt

+

Re s

e pt

+

Re s

e pt

3

+1)

3

+1)

3

+1)

3

+1)

p( p

p( p

3 ) p( p

k

0

−1

0.5(1+i 3 ) p( p

0.5(1−i

1

3

+

i t

−t

2

2

−t

t

e

e

e

2

t

3

x(t) = 1 −

+ 2 Re

= 1

−

−

e

2

cos

− 3