Добавил:

Hist Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Теория функций комплексного переменного

Файл:

ТФКП_1_2 / tfkp

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2014

Размер:

1.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Логинов А.С. Лекции по ТФКП

d) eu+v=eu ev

∞

l ∞

∞ ∞

∞

eu ev = ∑

∑

= ∑ ∑

= ∑

∑

ul vm = ∑

(u + v)k = eu+v

l =0 l! m=0

l =0 m=0

l! m!

k =0 m+l =k

l! m!

k =0

k!m+l =k l!m!

k =0 k!

e)ez + 2π i = ez e2π i = ez , таким образом 2π i является периодом, откуда следует, что sin и cos имеют период 2π и в комплексной области.

f)Из c) и d) следует, что sin2 z + cos2 z = 1 (непосредственная проверка)

g)sin iz = i sh z, cos iz = ch z, ch2z – sh2z = 1. Доказывается, используя формулы Эйлера.

Глава 2. Аналитические функции. Конформные отображения. §1 Аналитические функции

1.Дифференцируемость. Условия Коши-Римана, моногенность.

Пусть f(z) – однозначная функция в области D C, z0 D . Обозначения: w = f ( z) = u( x, y) + iv(x, y) , z = x + i y, z = x + i y, w = f = u + i v.

Определение. Функция f(z) называется моногенной в точке z0 C , если существует

конечный предел lim f ( z) − f ( z0 ) = f '(z0 ) , который называется производной в точке. В этом

z → z	0	z − z0

случае говорят также, что функция дифференцируема в смысле комплексного анализа. Замечание: Для существования f′(z0) необходимо и достаточно, чтобы в некоторой

проколотой окрестности точки z0 имело место представление

w = A z + α(z) z= A

z) , α (z)- бесконечно малая при z→z0 . ( A = f′(z0)). Это

z + o(

и поэтому

z +

(| z |) , так как z =| z |

условие можно записать в виде:

w = A

z |

o( z) = o(| z |) .

Теорема. Для того, чтобы однозначная функция f(z) = u(x,y) + i v(x,y) была моногенной в точке z0 необходимо, а в случае дифференцируемости u, v и достаточно, выполнения условий Коши- Римана

∂u =

∂v ,

∂u = − ∂v .

∂x

∂y

∂x

Необходимость: При вычислении предела возьмём

z = x, тогда f′(z0) = ux +ivx. Если брать

z = i y, то f′(z0) =

+ i

= vy

− iuy . Сравнивая, получим требуемые соотношения.

Достаточность: В силу дифференцируемости w = u + i v = ux

x + uy y + o(| z |) +i(vx x

+ vy y) +i o(| z |) =( ux +i vx)

x + (uy +ivy )

y + o(

z) .

w=( ux +i vx)

x + (uy +ivy )

y + o( z)

(1)

Используя условия Коши-Римана, получаем

w = ( ux +i vx)

+ v

+ iv

) x + (iv

+ u

)i y

x +(

i y + o( z)

= (u

( z) =A z+

( z) .

( z) = (ux + ivx )( x + i y) +

Замечание 1. Если функции u, v дифференцируемы, то

f = ∂f

∂f

z +

( z) .

∂z

∂ z

Действительно, в этом случае имеет место равенство (1)

w = ( ux +i vx)

x + (uy +ivy )

y + o( z)

Логинов А.С. Лекции по ТФКП

∂f

z + ∂

. Действительно: x =

z +

,y =

Покажем, что ( ux +i vx)

x + (uy +ivy )

y =

∂z

∂ z

z −

z +

z −

z +

z −

z +

z −

, x=

, y

, f

= u

+ iv

, поэтому

∂f

(ux

+ i(vx − uy )),

∂z

+ i

+ vy

∂f

(ux

+ i(vx + uy )),

−

+ i

−

− vy

∂

∂f

z +

∂

(u + v + i(v − u ))( x + i y) + (u − v + i(v + u ))( x − i y) =

∂z

∂ z

= (ux + ivx ) x + (uy + ivy ) y .

f =

∂f

z + ∂

Замечание 2. Выполнение равенства

z + o( z) и условий Коши-Римана

∂f

∂z

∂ z

эквивалентно равенству

= 0 .

∂ z

Замечание 3*. Условия Коши-Римана в полярных координатах

f = u(x, y) + iv(x, y) = u(r cosϕ, r sin ϕ ) + iv(r cosϕ, r sin ϕ ) = U (r,ϕ ) + iV (r,ϕ) .

rUr − Vϕ = 0 , rVr + Uϕ = 0

(CR)

Действительно: U r = ux cosϕ + uy sin ϕ , Uϕ = −rux sin ϕ + ruy cosϕ , Vr = vx cosϕ + vy sin ϕ ,

Vϕ

= −rvx sinϕ + rvy cosϕ . Далее

rUr

= rux cosϕ + ruy sinϕ

Uϕ = −rux sinϕ + ruy cosϕ

. Решая эту систему, получим:

rux

= rUr cosϕ − Uϕ sinϕ ,

ruy

= rUr sinϕ + Uϕ cosϕ . Аналогично

rVr = rvx cosϕ + rvy sin ϕ

= rVr sin ϕ + Vϕ cosϕ .

, откуда следует rvx = rVr cosϕ − Vϕ sin ϕ , rvy

Vϕ

= −rvx sin ϕ + rvy cosϕ

Тогда rU r − Vϕ = r cosϕ(ux

− vy ) + r sin ϕ (uy + vx ) = 0 и

rVr + Uϕ = r cosϕ(vx + uy ) + r sinϕ(vy − ux ) = 0 .

Так как

z=| z| eiθ , то в случае дифференцируемости u, v,

= ∂f

+ ∂

∂

≠ 0 .

e−i 2θ +

. Таким образом,

lim f зависит от направления θ, если

∂z

∂ z

z → z0 z

∂

∂ z

И наоборот, для моногенной функции или, что тоже, при условии

= 0 этот предел не зависит от

∂ z

направления стремления z → z0 .

2.Голоморфные функции. Аналитичность.

Однозначная функция w=f(z) комплексного переменного, моногенная в некоторой окрестности точки z0 , называется аналитичной в точке z0.

Функция называется голоморфной в области D, если она аналитична в каждой точке области D. В этом случае говорят об аналитичности в области.

Вместо слова моногенность употребляют выражение дифференцируемость в смысле комплексного анализа, или просто дифференцируемость.

Так же, как для пределов действительных функций и производных действительных функций доказываются обычные свойства пределов и правил дифференцирования. Например, имеют место следующие свойства:

1) сумма двух аналитичных в точке функций будет аналитичной функцией в этой точке и

(f(z) + g(z))′=f ′(z)+g′(z)

Логинов А.С. Лекции по ТФКП

2)Произведение и частное двух аналитичных в точке функций будет аналитичной

		d	f (z)	=	g(z) f '(z) − f (z) g'(z)
функцией в этой точке и ( f (z)g (z))' =	f '(z)g( z) + f (z)g '(z) ,					.

		dz g(z)			g 2 (z)

В последнем случае, предполагается, что g(z) ≠ 0 .

3)Таблица производных аналитических функций выглядит так же, как и для

действительных функций.

						k −1
			Пример: (zk )' = kzk −1 . Отметим, что zk − z0k = (z − z0 )∑z0m zk − m −1 . Поэтому
						m = 0
		k	k		k −1	k −1
lim	z		− z0	= lim ∑z0m zk −1− m = ∑z0m z0k −1− m = kz0k −1 .
lim				= lim ∑z0m zk −1− m = ∑z0m z0k −1− m = kz0k −1 .
z → z0 z − z0				z → z0 m = 0		m =0
						n
			Многочлен: P( z) = ∑ak zk , рациональная функция (иногда говорят - дробно рациональная
						k =0
					n
функция): Q(z) =					∑ak zk
					k =0	аналитичны всюду, где они определены.
					m	аналитичны всюду, где они определены.
					∑bk zk
					k = 0
			4)	Сложная функция. Пусть w=g(ζ), ζ=f(z), g аналитична и однозначна в , а f

аналитична в D и осуществляет однозначное отображение D в , тогда суперпозиция w=g(f(z)) аналитична в D. Справедливо обычное правило дифференцирования сложной функции

d g ( f ( z)) = g' ( f (z)) f ' (z) . dz

Теорема. Сумма степенного ряда есть аналитическая функция внутри круга сходимости и в этом круге ряд можно почленно дифференцировать.

					n	∞
Доказательство: Обозначим Sn (z) = ∑ck zk , g(z) = ∑kck zk −1 . Радиус сходимости ряда
					k = 0	k =1
∞						∞
∑kck zk	−1 совпадает с радиусом сходимости исходного ряда ∑ck zk , так как
k =1						k =0
∞		1	∞
∑kck zk	−1 =	1	∑kck zk , k	\| k \|	→ 1 .
∑kck zk	−1 =	z	∑kck zk , k	\| k \|	→ 1 .
k =1		z	k =1
Пусть r=\|z0\|, выберем ρ , удовлетворяющее условию r<ρ<R, где R -радиус сходимости рядов
∞	∞
∑ck zk ,	∑kck zk −1 . Рассмотрим круг K с центром в z0					и радиуса ρ - r . Для z K :\| z \|< ρ .
k =0	k =1

∞

Степенной ряд ∑kck zk −1 сходится абсолютно при z=ρ, поэтому для заданного ε >0

k =1

Логинов А.С. Лекции по ТФКП

∞

< ε .

Ν:

∑k | ck

| ρ k −1

k = N +1

Для этого N выбираем δ <ρ - r так, чтобы при |z - z0|<δ выполнялось неравенство

SN (z) − SN (z0 )

− S

'(z

)

< ε

(z − z0 )

f (z) − f (z0 )

− g( z0 )

< ε . Действительно,

тогда при |z - z0|<δ будет выполнено неравенство

z − z0

имеем

∞

f (z) − f (z0 )

∑ck zk − ∑ck z0k

∞

− g (z0 )

k =0

− ∑kck z0 k −1

k = N +1

− ∑kck z0 k −1

z − z0

k =1

z − z0

k = N +1

(z) − S

(zk − zk )

)

∞

k −1

∞

k −1

− SN

'(z0 )

∑ ck

− ∑kck z0

∑ ck

∑zk − m −1z0m

z − z0

k = N +1

m = 0

∞

k −1

∞

k −1

∑ |

ck | ∑ρ

ε <

∑| ck | kρ

ε < ε.

k = N +1

m =0

k = N +1

Следствие 1. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в круге сходимости любое

число раз.

Пример: Доказать, что

dez

= ez . Дифференцируем почленно

∞

k −1

∞

∑

= ∑

=∑

=ez .

(k −

dz k =0

k =1

1)!

m =0 m!

Пример: Доказать, что (sin z)' = cos z, (cos z)' = − sin z . Использовать формулы Эйлера.

− e

−iz

(

−iz )

(sin z)' =

+ ie

= cos z .

Например, для sin z :

∞

Следствие 2. Если степенной ряд ∑ck (z − z0 )k

сходится в круге | z - z0|<R, R>0 к функции

k =0

f(z), то c =

f (k ) (z0 )

, k = 0,1,...

Доказательство: Дифференцировать k раз

∞

f ( p ) (z) =

∑ck (z − z0 )k

= ∑k (k − 1)...(k − p + 1)ck (z − z0 )k − p

k =0

k = p

и подставить z=z0.

∞

( k )

(z0 )

Определение. Если f(z) имеет производные любого порядка, то ряд ∑

(z − z0 )k

k =0

называется рядом Тейлора функции f(z).

∞

Как это видно из Следствия 2, ряд ∑ck (z − z0 )k является рядом Тейлора своей суммы. Из

k =0

следствия 2 также следует теорема единственности разложения в степенной ряд:

∞		∞
Теорема. Если два ряда ∑ak (z − z0 )k		и ∑bk (z − z0 )k совпадают в круге \|z - z0\|<R,R>0, то
k =	0	k =	0

ak=bk.

Определение. Функция f(z) называется регулярной в точке z0 , если она определена в окрестности точки z0 и в некоторой окрестности этой точки

Логинов А.С. Лекции по ТФКП

∞

f (z) = ∑ck ( z − z0 )k

k = 0

Функция называется регулярной в области, если она регулярна в каждой точке этой области.

3.Гармонические функции. Сопряженные функции.

Функция u(x, y) называется гармонической в области D, если она имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно и удовлетворяет в этой области уравнению Лапласа

u= ∂2u + ∂2u = 0 . ∂x2 ∂y2

Две гармонические функции u, v называются сопряженными, если они связаны между собой условиями Коши-Римана.

Теорема. Если u гармоническая функция в связной области D , то для нее существует семейство сопряженных функций, определяемых по формуле

( x, y )

v( x, y) =

∫

−

∂u dx + ∂u dy .

∂y

∂x

( x

, y

)

Доказательство . Из условия гармоничности функции u следует, что поле

−

∂u ,

V = (P,Q) =

∂u потенциальное и его потенциал v находится по формуле

∂y

∂x

( x, y )

− ∂u dx +

∂v = P = − ∂u , ∂v = Q = − ∂u . Что и

v( x, y) =

∫

∂u dy

. Так как grad v = (P,Q), то

∂y

∂x

∂y ∂y

∂x

( x

, y

)

∂x

требовалось доказать.

Замечание. Если функция f(z) аналитическая в области D , то ее действительная и мнимая части будут сопряженными гармоническими функциями. И, наоборот, по двум сопряженным функциям u, v восстанавливается аналитическая функция f = u + iv .

§2 Конформные отображения

1.Существование обратной функции для аналитической функции в окрестности точки

Пусть f(z) = u(x,y) +iv(x,y) аналитична в точке z0 и f′(z0)≠0

u = u(x, y)		D(u, v)	=	u	x	u	y	= uxvy − uy vx = ux2 + vx2 =\| f '(z) \|2 ≠ 0 в
w=f(z):	. Якобиан
				vx		vy
v = v(x, y)		D( x, y)

окрестности точки z0. Следовательно, | f '(z0 ) |2 имеет смысл коэффициента искажения площади в точке z0 при отображении w = f ( z) и существует обратная функция в некоторой окрестности точки

w0=f(z0), z = f −1 (w) , причём

df −1 (w)

df (z)

2.Геометрический смысл аргумента производной.

Пусть γ -гладкая кривая Жордана, γ: z(t)=x(t)+iy(t), t [α,β], z'(t) ≠ 0,t0 (α , β ) .Обозначим образ кривой γ при отображении f. Предположим, что f(z) аналитическая в точке z0 функция и f′(z0)≠0.

Имеем : w(t)=f[z(t)], w′(t0)=f′(z0)z′(t0). Так как при умножении комплексных чисел аргументы складываются, то Arg f′(z0) = arg w′(t0) – arg z′(t0).

Если arg z′(t0) = ϕ, arg w′(t0) = ψ - главные значения аргументов, Arg f′(z0) = ψ − ϕ - угол поворота кривой в точке z0 при отображении w = f(z), определяемый с точностью до 2πk. Как видим, этот угол не зависит от выбора кривой, проходящей через данную точку.

Логинов А.С. Лекции по ТФКП

v		w	y
		w	z
	w0	w=f[z(t)]	z(t)
		w=f[z(t)]
		ψ
			z 0 ϕ
		u	x

В частности, если в плоскости z пересекаются две кривые z1(t), z2(t), имеющие в точке пересечения главные значения аргументов ϕ1, ϕ2, а их образы при отображении w=f(z), соответственно, углы ψ1, ψ2, то мы получим ψ2 - ϕ2 =arg f′(z0)+2πk2, ψ1 - ϕ1 =arg f′(z0)+2πk1, откуда, вычитая одно равенство из другого, получим ψ2 - ψ1 =2π(k2- k1)+ ϕ2 - ϕ1. Полученное равенство позволяет сформулировать следующее

Следствие. При сделанных предположениях ( аналитичность в точке и неравенство нулю производной ) углы при отображении сохраняются. Кроме того, сохраняется «порядок обхода».

Например, если поворот от касательной к первой кривой в точке пересечения к касательной второй кривой в плоскости z происходит против часовой стрелки, то тоже самое будет наблюдаться и в плоскости w между образами этих кривых.

Пример: w = z2 . Обратить внимание на сохранение углов и направлений поворота (9 точек пересечений)

	3.Геометрический смысл модуля производной.

	z=x+iy, w=u+iv, \| dz \|= x'2 (t0 ) + y'2 (t0 )dt = ds,\| dw \|= u'2 (t0 ) + v'2 (t0 )dt = dS , dw=f′(z0)dz,
dS	=\| f '(z		) \| -коэффициент линейного растяжения кривой в точке при заданном отображении.
	=\| f '(z	0
ds		0
ds
	Коэффициент растяжения кривой в точке, не зависит от кривой, проходящей через эту точку.

Это коэффициент равен |f′(z0)|. Это свойство называется свойством сохранения масштаба в точке z0.

Как уже отмечалось, | f '( z0 ) |2 является коэффициентом растяжения площади в точке z0 при этом

отображении.

Пример: Обратить внимание на изменение

площади при отображении w = z2 в окрестности точки

z0 = 1 . Линейные размеры увеличиваются

приблизительно в 2 раза

( w' = 2z z =1 = 2 ). Площадь в 4 раза.

Логинов А.С. Лекции по ТФКП

4.Конформные отображения.

Определение (Конформность в C). Непрерывное, взаимнооднозначное отображение w=f(z) области D на область D* называется конформным, если в каждой точке D имеет место

1)свойство сохранения углов

2)сохранение масштабов

в перечисленном выше смысле.

Как мы видели, если f(z) аналитична в точке z0

и f′(z0)≠0, то отображение w=f(z) конформно в

некоторой окрестности точки z0.

Определение. Углом между кривыми z1(t), z2(t),

в бесконечности ( предполагается, что

lim z1

(t) = lim z2 (t) = ∞ ) называется угол в 0 между образами этих кривых при отображении

t →α

t → β

w=1/z, то есть между кривыми w1 (t) =

,t → α; w2 (t) =

, t

→ β в точке w = 0 .

z1 (t)

z2 (t)

Изменение линейных размеров кривой z(t), lim z(t) = ∞ в точке w0 = ∞ определяется по

t →t0

образу кривой w(t) =

,t → t0 . И в том и в другом случае

∞ предварительно переводится в 0

z(t)

отображением w =

. С учетом этих определений дается определение конформности в C .

Если требуется исследовать вопрос об угле или коэффициенте растяжения кривой z(t) при

t = ∞ , то эту задачу можно решить, рассматривая кривую Z (ξ ) = z

в точке ξ = 0 . При решении

задач об изменении углов и масштабов в ∞ при отображении w = f ( z) можно руководствоваться следующей таблицей

Решение задач с преобразованием углов и масштабов при отображении w=f(z)

Задача

Решение

1. z0≠∞, f(z0) ≠∞

См. f′(z0)

2. z0=∞,f(z0) ≠∞

См. w1=f(1/w) в точке w0 =0

3. z0≠∞,f(z0) =∞

См. w =

в точке z0

f ( z)

4. z0=∞,f(z0) =∞

См. w1 =

в точке w0 =0

Пример 1. Исследовать на конформность функцию w =

z − 1

в расширенной комплексной

z − i

области.

Решение. В точках отличных от i и ∞ конформность следует из существования производной и

не равенства её нулю

(z − i) − ( z − 1)

1 − i

( z − i)2

(z − i)2

В точке z=i значение функции w=∞, поэтому для исследования в этой точке нужно

рассмотреть функцию w =

z − i

в точке z=i, (см. таблицу п. 3 ). Конформность следует из

z − 1

Логинов А.С. Лекции по ТФКП

существования производной и не равенства её нулю при z = i ,

dw1

(z − 1) − (z − i)

i − 1

dw1

≠ 0 .

( z − 1)2

(z − 1)2

z =i

В точке z=∞ значение функции w=1, поэтому для исследования на конформность в этой точке

следует «бесконечность в аргументе» перевести предварительно в 0 ( с помощью замены

− 1

переменного z =

). Таким образом, для исследования берётся функция

w =

1 − ζ

− i

1 − iζ

точке 0, которая в этой точке имеет производную, отличную от нуля,

= − (1 − iζ ) + i(1 − ζ ) =

i − 1

≠ 0 .

dζ

− iζ )2

dζ

(1 − iζ )2

ζ =0

Пример 2. Исследовать на конформность в точке z=∞ функцию w=i z - 2.

Решение. Во всех точках z≠∞ производная существует и не равна нулю. При z=∞ , w=∞,

поэтому, согласно определению, необходимо сделать две замены:

z =

, и ω =

. В итоге, для

исследования на конформность имеем функцию w =

в окрестности точки ζ = 0 . Эта

− 2

i − 2ζ

функция в точке ζ=0 имеет производную не равную нулю,

(1 − 2ζ ) + 2ζ

≠ 0 .

dζ

(1 − 2ζ )2

− 2ζ )2

dζ

ζ =0

Пример 3: Докажем непосредственно свойство сохранения углов в т. 2i при отображении

w =

z − 2i

Пусть z1(t) и z2(t) выходят из точки 2i. Для первой кривой t [α1,β1], для второй t [α2,β2].

Точка 2i переходит в бесконечность, поэтому будем искать углы между кривыми

w(t) =

, w1 (t) =

2z1 (t)

и w(t) =

, w2 (t) =

2z2

(t)

в точках

α1, α2, соответственно. Для

z1 (t) − 2i

w1 (t)

w2 (t)

z2 (t)

− 2i

w' =

1 d

− 2i

1 z

' z

− z

'( z

− 2i)

= −

этих кривых имеем

zk ' , поэтому угол

2 dt

z k =2i

между образами wk в бесконечности будет равен:

		i					i
arg	−		z	'	− arg	−
arg	−		z	'	− arg	−
		4	2				4

			i					i
z '	= arg	−		+ arg(z		')− arg	−		− arg(z ') = arg(z		')− arg(z ')

1			4		2			4	1	2	1

Некоторые свойства конформных отображений ( без доказательства )

Свойство сохранения области. Если f(z) аналитична и однолистна (взаимнооднозначна) в области D, то f′(z)≠0 в D и f(z) конформно отображает D на D* . Кроме того, f -1(w) аналитична в D*, где D* образ D при отображении f(z).

Свойство сохранения границ. Пусть D и D* две области, ограниченные замкнутыми кривыми Жордана ∂ D и ∂ D*. Если f(z) отображает D на D* конформно, то она отображает D = D U ∂D на

D* = D * U∂D * взаимнооднозначно и взаимно непрерывно с сохранением ориентации обхода границы.

Свойство взаимнооднозначного соответствия. Пусть D и D* две односвязные области,

ограниченные замкнутыми кусочно-гладкими кривыми Жордана ∂D и ∂D* . Если аналитическая в D

Логинов А.С. Лекции по ТФКП

функция взаимнооднозначно и непрерывно отображает ∂D на ∂D* с сохранением обхода, то эта функция конформно отображает D на D*.

Теорема ( Риман ). Если граница односвязной области D C состоит более, чем из одной точки, то существует аналитическая функция, конформно отображающая D на внутренность круга |z|<1, причём эта функция единственна, если задать условия нормировки ( например, перевести заданную точку z0 с заданным направление в заданную точку w0 с заданным направлением.

Глава 3. Примеры конформных отображений

§1 Дробно линейное отображение

1.Линейная функция.

w = a z + b, a≠0

Можно представить, как суперпозицию отображений: w1=|a| z, w2=ei arg a w1, w = w2+b.

Взаимнооднозначно и конформно отображает Cz на Cw . Первое из этих отображений представляет собой растяжение в |a| раз, второе - поворот плоскости на угол arg a, третье – сдвиг.

Определение. Окружностью в С будем называть обычные окружности, либо прямые.

Такие обобщенные окружности можно описать уравнением

A(x2+y2)+Bx+Cy+E=0, A2 + B2 + C 2 ≠ 0 .

Подставляя x = z + z , y = z − z , получим эквивалентную форму представления окружности

22i

B − iC

B + iC

Az z +

z +

z + E = 0 или Az z + F z + F z + E = 0 ,

+ | F |

≠ 0 , E

+ | F |

≠ 0 , A и

E вещественные.

Круговое свойство. Линейная функция сохраняет окружности.

Действительно, линейная функция представляет собой суперпозицию трех отображений: растяжение, поворот, сдвиг. Не очевидным является только свойство сохранения окружностей при

растяжении. Если в уравнение окружности Az z + F z + F z + E = 0 подставить z = w , то получим:

| a |

+ F

+ E = 0 или A' ww

+ F 'w + F ' w + E = 0 , A'2 + | F |2 ≠ 0 , E 2 + | F |2 ≠ 0 , A' и E

| a |

| a | | a |

вещественные, т. е. снова уравнение окружности. Свойство сохранять обобщенные окружности называется круговым свойством.

2.Преобразование инверсии.

Определение. Точки z, z* называются симметричными относительно окружности на C, если они лежат на луче, выходящем из центра окружности и произведение расстояний от этих точек до центра равно квадрату радиуса. Из условий |z* - z0||z - z0|=R2, arg(z - z0)=arg(z* - z0) следует равенство, связывающее симметричные точки относительно окружности с центром в z0 и радиуса R


z * −z0 =	R2
		,


	z − z0
z* = z0 +	R2
			.


	z − z0

Способ построения симметричных точек виден из рисунка. Из точки z восстанавливается перпендикуляр к лучу z0 z , из точки пересечения перпендикуляра с окружностью проводится

z0 − ζ

Логинов А.С. Лекции по ТФКП

касательная до пересечения с лучом z0 z в точке z *. Симметрия точек z и z * следует из подобия

двух прямоугольных треугольников:	\| z − z0 \| =	R
			.
	R	\| z * −z0 \|

Теорема. Для того, чтобы точки z , z* были симметричны относительно , необходимо и достаточно, чтобы любая обобщенная окружность γ из С , проходящая через эти точки, была ортогональна .

Доказательство. Отметим известное свойство касательных и секущих к окружности:

квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть. Необходимость. Дано: z , z* симметричны относительно .

Если γ - прямая, проходящая через z , z* , то γ и ортогональны. Пусть γ - некоторая обычная окружность, проходящая через симметричные точки. Проведем одну из касательных к окружности γ из точки z0 и обозначим точку касания ζ. . Рисунок иллюстрирует это построение.

Если точки симметричны, то по сформулированному свойству секущей, квадрат касательной

2 будет равен R2, то есть точка ζ должна лежать на окружности . Следовательно отрезок

соединяющий z0 и ζ , с одной стороны будет радиусом к , а с другой стороны касательной к γ , что означает ортогональность этих окружностей. Корректный рисунок приведен ниже, в доказательстве достаточности.

Достаточность. Любая обобщенная окружность γ , проходящая через z , z* ортогональна .

Беря в качестве γ прямую получим, что точки z, z* лежат на луче, выходящем из центра z0 .

Проведем какуюнибудь обычную окружность γ через точки z, z* . Обозначим любую из точек пересечения окружностей , γ через ζ.

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ТФКП_1_2

#
11.05.20141.91 Mб54tfkp.pdf
#
11.05.2014255.18 Кб55tfkp2.pdf