Добавил:

Hist Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Теория функций комплексного переменного

Файл:

ТФКП_1_2 / tfkp

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2014

Размер:

1.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Логинов А.С. Лекции по ТФКП

Из аналитичности f(z) следует, что для всех z лежащих внутри круга | z − z0 |< δ ,

ограниченного окружностью C с центром z0

и радиуса δ получим:

f (z) =

f (ζ )

dζ . Так как

2πi

∫ζ − z

∞

(z − z

∞

(z − z

= ∑

, то f (z) =

∫

f (ζ )∑

dζ =

ζ − z

z − z

(ζ − z

)k +1

2πi

(ζ − z

)k +1

k =0

1 −

ζ − z0

∞

f (ζ )

∞

f (ζ )

∑(z − z0 )

∫

dζ = ∑ak ( z − z0 )

, где ak =

∫

dζ .

2πi

(ζ − z

)k +1

2πi

(ζ − z

)k +1

k =0

Ранее отмечалось, что степенной ряд является рядом Тейлора своей суммы, в частности является бесконечно дифференцируемой функцией, таким образом, для его коэффициентов получаем равенство:

f ( k ) (z0 )

= a =

f (ζ )

dζ . Единственность следует из той же теоремы.

2πi ∫ (ζ − z )k +1

При почленном интегрировании использовалась равномерная сходимость ряда, которая

(z − z

| z − z

следует из неравенства

≤

< 1 для ζ C .

(ζ − z

δ k

Следствие. Аналитическая в области D функция f(z) бесконечно дифференцируема в этой области и ее производные вычисляются по формуле

f	( n)	(z) =	n!	∫	f (ζ )		dζ ,
			2πi		(ζ − z)	n +1
				C

где C –контур, содержащий точку z , ограничивающий область							,	D .

2.Неравенство Коши для коэффициентов ряда Тейлора. Теорема Лиувилля.

Утверждение. Если аналитическая в круге |z - z0|<R функция f(z) ограничена на окружности |z - z0|=R, например, | f(z)|≤M, то для коэффициентов ak в разложении по формуле Тейлора

∞

f ( z) = ∑ak (z − z0 )k

справедливы неравенства | ak

|≤

, k = 0,1,...

k =0

Доказательство. a =

∫

f (ζ )

dζ , | a |≤

1 1

max | f (z) | 2πR ч.т.д.

2πi

(ζ − z )k +1

2π Rk +1

Теорема Лиувилля. Если f аналитическая на всей комплексной плоскости и ограничена, то она константа.

Доказательство. Достаточно в неравенстве | ak |≤ M , k = 0,1,... перейти к пределу при R→∞.

§2 Единственность аналитической функции. Принцип максимума модуля.

1.Внутренняя теорема единственности аналитических функций. Нули аналитических функций.

Теорема. Пусть f(z) аналитическая функция, не тождественно равна нулю и f(a)=0, то существует натуральное n , такое, что f(z)=(z - a)n g(z), где g(z) - аналитическая функция в точке a, не равная нулю в некоторой окрестности точки a. Число n называется кратностью нуля.

Отметим, что для того, чтобы a была нулем кратности n, необходимо и достаточно,

чтобы выполнялось условие:

f (a) = f '(a) = ... = f ( n −1) (a) = 0, f ( n ) (a) ≠ 0 .

Доказательство. Возьмем разложение функции по формуле Тейлора в окрестности точки a:

∞

f (z) = ∑ak (z − a)k . Пусть n - индекс первого, отличного от нуля коэффициента ak :

k = 0

		Логинов А.С. Лекции по ТФКП
∞	∞	∞
f (z) = ∑ak (z − a)k = (z − a)n ∑ak (z − a)k − n = (z − a)n ∑an + m (z − a)m =(z − a)n g(z) .
k = n	k = n	m =0

Отсюда следует, в частности,

Теорема. Если f(z) аналитическая в точке a, f(a)=0 и не является тождественным нулём, то этот нуль изолирован, то есть, в некоторой окрестности нет других нулей.

Ещё одно следствие.

Теорема. Если f(z) и g(z) аналитические в области D и совпадают на некоторой последовательности точек ak→ a D , то f(z)≡g(z) в D.

Для доказательства рассматривается функция h(z) = f(z) – g(z), имеющая a не изолированным нулем. Из предыдущей теоремы следует h(z)≡ 0.

2.Принцип максимума модуля аналитической функции.

Теорема. Если не тождественно постоянная функция f(z) аналитична в односвязной области D и непрерывна в D ∂D, то её модуль не может достигать максимального значения в области D. Другими словами, максимальные значения модуля функции могут достигаться аналитической функцией только на границе области.

Доказательство. Предположим противное, пусть M = max f (z) = f (z0 ), z0 D . Тогда

z D

существует окружность С с центром в z0, на которой не все значения функции равны M . Иначе функция является постоянной в круге с центром в z0 максимально возможного радиуса. Тоже самое можно сказать про любую точку границы этого круга, внутренней по отношению к области D. Таким образом, можно доказать постоянство функции во всей области D . Пусть ζ0 С и |f(ζ0)|<M, существует некоторая окрестность этой точки на окружности, где |f(ζ)|<M - ε, ζ U(ζ0)∩C. Длина этого участка окружности пусть будет равна 2δ .

По теореме о среднем f ( z ) =

2π

f ( z

+ reit )dt =

2π

∫

2π

M =

f (z )

≤

((2π − 2δ )M + 2δ (M − ε )) = M −

2π

∫

C \U

2δε

+ ∫ . Отсюда

U ∩C

3.Терема Вейерштрасса

∞

Теорема 1. Если ряд аналитических в области D функций fk ( z), ∑ fk (z) равномерно

k =1

сходится на любом компакте K D, то

	∞
1)	f (z) = ∑ fk (z) аналитическая в D
	k =1
	∞
2)	f ( p ) (z) = ∑ fk( p ) (z), p = 1,2,... и этот ряд сходится равномерно на любом компакте,

k =1

лежащем в области K D .

Доказательство. Рассмотрим окрестность U точки z0 , лежащую в D со своим замыканием. Границу U ориентированную положительно обозначим С .

Логинов А.С. Лекции по ТФКП

∞

Сумма ряда f (ζ ) = ∑ fk (ζ ) непрерывна на C . Рассмотрим интеграл типа Коши

k =1

F (z) =

F ( p ) (z)

∫

f (ζ )

dζ ,

эта функция аналитична в U и там

2πi

ζ − z

f (ζ )

∞

∫

∑ fk (ζ )

dζ , ряд

2πi

(ζ − z)

p +1

(ζ − z)

p +1

(ζ − z)

p +1

k =0

сходится равномерно на C, следовательно, его можно почленно интегрировать.

f (ζ )

∞

(ζ )

∫

∑ fk

(ζ )dζ = ∑

∫

F ( p ) (z) =

dζ =

2πi

(ζ − z)

p +1

2πi

(ζ − z)

p +1

2πi

(ζ − z)

p +1

∞

= ∑ fk ( p ) (z) , в частности, F(z)=∑ fk(z)=f(z). В силу произвольности z доказанное

k =0

утверждение распространяется на все точки из D.

Равномерную сходимость ряда из производных будем доказывать только в частном случае, именно, когда K является замкнутым кругом радиуса r0, лежащем в D . Несколько увеличим радиус этого круга так, чтобы вновь полученный круг K* радиуса r также лежал в D . Границу этого круга, ориентированную положительно обозначим C.

Тогда для всех z K будет выполнено

f (ζ )

fk (ζ )

f ( p ) (z) − ∑ fk ( p ) (z)

∫

dζ − ∑

∫

dζ

2πi

(ζ − z) p

f (ζ ) − ∑ fk (ζ )

p! 2πr

∫

k =0

dζ

≤

max

f (ζ ) − ∑ fk (ζ )

p +1

2πi C (ζ − z)

2π (r − r0 )

ζ C

k =0

Откуда и следует требуемое утверждение.

Теорема 2. Если ряд ∑ fk(z) аналитических в области D со спрямляемой границей ∂D и непрерывных в замыкании D∂D функций fk(z) равномерно сходится на границе ∂D, то этот ряд равномерно сходится и в D. В частности, по теореме 1, сумма этого ряда будет аналитической функцией в области D.

Логинов А.С. Лекции по ТФКП

Доказательство будет проведено только для любого компакта лежащего в D и имеющего спрямляемую границу.

∞

Доказательство. Обозначим сумму ряда f (ζ ) = ∑ fk (ζ ),ζ ∂D . Для z D рассмотрим

k =1

интегралы типа Коши:

F (z) = 1 ∫ f (ζ )dζ

2πi ∂Dζ − z

			∞
	1		∑ fk (ζ )		∞	1		f	(ζ )	∞
=	1	∫	k =1		dζ =∑	1	∫	f	(ζ )	dζ = ∑ fk (z) = f (z) , таким
			k =1					k
	2πi		ζ	− z		2πi		ζ	− z
		∂D			k =1		∂D			k =1

образом, для любого z D:F(z)=f(z). Пусть компакт K D и δ - расстояние от K до границы ∂D, l – длина этой границы. Тогда для всех z K

| f (ζ ) − ∑ fk

(ζ ) |

1 1

| f (z) − ∑ fk (z) |≤

∫

k =1

dζ ≤

l max | f (ζ ) −

∑ fk (ζ ) |

k =1

2π ∂D

| ζ − z |

2π δ

ζ ∂D

k =1

§3 Ряды Лорана

∞

Определение. Ряд вида

∑ck (z − z0 )k

= ∑ck (z − z0 )k

+ ∑c− k

называется рядом

(z − z0 )

k = −∞

k =0

k =1

∞

−∞

∞

c−m

Лорана. ∑ck ( z − z0 )k

называется правильной частью, ∑ck ( z − z0 )k = ∑

называется

(z − z0 )

k =0

k =−1

m=1

главной частью ряда Лорана. Областью сходимости такого ряда ( в случае наличия членов с отрицательными показателями ) будет кольцо r<|z - z0|<R, в частности, может быть r=0, R=∞ (проколотая окрестность точки z0).

Из свойств степенных рядов следует, что ряд Лорана сходится равномерно на любом компакте, лежащем в кольце r<|z - z0|<R , в частности, ряд Лорана можно почленно интегрировать по кривым, лежащим в кольце сходимости. Из соответствующего свойства степенных рядов следует возможность почленного дифференцирования ряда Лорана.

Теорема Лорана. Если функция f(z) – аналитическая в кольце К: 0≤ r0 <|z - z0|<R0 ≤∞, то

		∞
f ( z) = ∑ck ( z − z0 )k , z K , где
	k = −∞
c =	1		f (ζ )	dζ , k = 0,±1,±2,... Сρ - окружность {\|ζ - z0\|=ρ, r0 <ρ <R0 }
c =	2πi	∫	(ζ − z )k +1
k	2πi	∫	(ζ − z )k +1
k
		C ρ	0

Доказательство.

Выберем кольцо r<|z - z0|<R так, что r0 < r, R < R0 . Окружности с центром z0 и радиусами r, R , положительно ориентированные, обозначим Cr , CR .

Логинов А.С. Лекции по ТФКП

По формуле Коши для области (кольца) с границей C

−

при z {r <| z − z

|< R}

∫

f (ζ )

∫

f (ζ )

выполнено равенство f (z) =

dζ −

dζ

2πi

ζ − z

2πi

ζ − z

В первом интеграле ζ CR

∞

(z − z

z − z

∑

< 1 ,

ζ − z

z − z

(ζ − z

)

k +1

ζ − z

k =0

1 −

ζ − z0

f (ζ )

∞

f (ζ )

∫

dζ = ∑

∫

dζ (z − z0 )k

(2)

2πi

ζ − z

2πi

(ζ − z

)k +1

k = 0

C R

∞

(ζ − z

Для

ζ Сr

: −

∑

ζ − z

( z

− z

)

ζ − z

( z − z

)

m +1

= 0

1 −

z − z0

= ∑∞ (ζ − z0 )m −1

m =1 ( z − z0 )m

f (ζ )

∞

f (ζ )

−∞

f (ζ )

−

dζ = ∑

dζ = ∑(z − z0 )k

dζ .

2πi

∫ζ − z

− z

)m 2πi

∫ (ζ − z

)− m +1

2πi ∫

(ζ − z

)k +1

m =1 (z

k = −1

Интегралы ∫

f (ζ )

dζ , k ≥ 0 и ∫

f (ζ )

dζ , k < 0 равны, соответственно,

k +1

(ζ − z

)

(ζ − z

)

∫

f (ζ )

dζ , k≥0, ∫

f (ζ )

dζ ,k<0 (в области аналитичночти контуры можно

k +1

C ρ

(ζ − z

)

C ρ

(ζ − z

)

деформировать без изменения величины интеграла).

Теорема. Разложение в ряд Лорана единственно.

Доказательство. Отметим, что справедлива

Лемма. Имеет место равенство

0, m ≠ −1

∫ (z − z0 )m dz =

| z − z0 |= r

2πi, m = −1

2π

Доказательство леммы.

z(t) = z0 + reit ,

∫ (z − z0 )m dz = ∫r meimt rieit dt =

| z − z0 |= ρ

2π

i rm+1 ∫ei ( m +1)t dt . Откуда и следует требуемое равенство.

0
∞	∞		1
f (z) = ∑ck (z − z0 )k = ∑bk (z − z0 )k умножая на			1		, получим
f (z) = ∑ck (z − z0 )k = ∑bk (z − z0 )k умножая на			(z − z0 )	n +1	, получим
k = −∞	k = −∞		(z − z0 )
∞	∞
∑ck (z − z0 )k − n −1 =	∑bk (z − z0 )k	− n −1 . Интегрируя последнее равенство по Cρ , получим 2πicn=2πibn.
k = −∞	k = −∞

Возможность почленного интегрирования обеспечивается равномерной сходимостью на любой окружности внутри кольца.

Теорема. Для коэффициентов ряда Лорана имеет место неравенство max | f (ζ ) |

ζ C ρ

\| cn \|≤		.
\| cn \|≤	ρ n	.
Доказательство.

| c |=

∫

f (ζ )

dζ

≤

∫

max | f |

| dζ |=

2πρ

max | f | .

2π

(ζ − z )n +1

2π

ρ n +1

2πρ n +1

Cρ

C ρ

Логинов А.С. Лекции по ТФКП

§4 Изолированные особые точки однозначных аналитических функций.

Определение. a C называется изолированной особой точкой ( и.о.т.) функции f, если существует проколотая окрестность этой точки, где функция аналитична, а в самой точке a функция не является аналитичной.

Пример. z+1/(z-1) изолированные особые точки 1, ∞.

Определение. И.о.т. a называется устранимой, если существует конечный предел lim f (z) ,

z → a

полюсом, если lim f (z) = ∞ , существенно особой точкой, если предел lim f (z) не существует.
z →a	z → a

Теорема. Для того, чтобы и.о.т. a≠∞ была устранимой необходимо и достаточно, чтобы разложение в ряд Лорана в этой точке не содержало отрицательных степеней z – a .

∞
f (z) = ∑ck (z − a)k , т.е., отсутствовала главная часть.
k =0
			∞
Достаточность очевидна. Если			f (z) = ∑ck (z − a)k , то lim f (z) =с0 .
			z	→ a
			k =0
					∞
Необходимость. Для коэффициентов разложения в ряд Лорана f ( z) = ∑ck (z − a)k имеет
					k = −∞
		max \| f (ζ ) \|			max \| f (ζ ) \|
место неравенство \| c	\|≤	ζ C ρ	. Тогда при n < 0 будет \| c	\|≤ lim	ζ C ρ	= 0 .
место неравенство \| c	\|≤	ρ n	. Тогда при n < 0 будет \| c	\|≤ lim	ρ n	= 0 .
n		ρ n	n	ρ →0	ρ n

Следствие. После доопределения по непрерывности функция становится аналитичной в данной точке.

Теорема. Для того, чтобы и.о.т. была полюсом необходимо и достаточно, чтобы в

−1

разложении в ряд Лорана присутствовала главная часть следующего вида: ∑ck (z − a)k .

k = − n

Достаточность.

−1

∞

(c− n + c− n +1 (z − a) + c− n + 2 (z − a)2 + ...) и

∑ck (z − a)k

+ ∑ck (z − a)k

(z − a)

k = −n

k = 0

lim f (z) = ∞ .

z →a

Необходимость. Дано lim f (z) = ∞ , тогда a есть изолированный нуль функции

z →a

g(z) =

= (z − a)n h(z)

и h(z) ≠ 0 в окрестности точки a.

f (z)

∞

f ( z) =

∑bk

(z − a)k , так как

аналитическая в точке a функция.

( z − a)

− a)

h(z)

k =0

h(z)

Определение. Порядком полюса a≠∞ функции f называется кратность нуля a функции 1 . f (z)

Следствие. Для полюса a порядка n, имеет место разложение

∞

f ( z) = ∑ck (z − a)k

k = − n

Определение. Порядком полюса z=∞ функции f(z) называется натуральное число n, равное наибольшей из положительных степеней z с отличными от нуля коэффициентами в разложении.


			−1			n
			f (z) = ∑ck zk + ∑ck zk , n – порядок полюса z=∞.
			k = −∞			k =0
	Теорема Соходского. Если a				- существенно особая точка функции f(z), то для
	Теорема Соходского. Если a			C	- существенно особая точка функции f(z), то для
A		{zn	} → a : lim f (zk ) = A .
A	C	{zn	} → a : lim f (zk ) = A .
			k →∞

Логинов А.С. Лекции по ТФКП

Глава 6. Элементы теории вычетов и их использование при вычислении интегралов

§1 Вычеты

1.Определение вычета в конечной изолированной особой точке

Пусть a≠∞ изолированная особая точка. В этом случае существует кольцо K = {0 <| z − a |< R} , где f – аналитическая функция.

Определение. Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке a≠∞ называется величина

Re s f (z) = 1 ∫ f (z)dz , где Cρ = {| z − a |= ρ,0 < ρ < R} - окружность достаточно

z = a	2πi Cρ

малого радиуса, положительно ориентированная.

Определение корректно. Действительно, для контуров, лежащих в кольце K интеграл

∫ f (z)dz не меняется при деформациях окружности.

C ρ

∞

f (ζ )

По теореме Лорана f (z) = ∑ck (z − a)

∫

, ck =

dζ .

2πi

(ζ − a)k +1

k = −∞

Cρ

Откуда следует, что c

f (z)dz , таким образом,

2πi ∫

−1

Cρ

Re s f (z) = c−1 .

z = a

Пусть a – полюс порядка n , в этом случае, как мы видели, справедливо разложение:

f ( z) = c

− n

(z − a)− n

+ ... + c

( z − a)−1 + c

+ c (z − a) + ..., где c

− n

≠ 0 .

−1

Тогда (z − a)n f (z) = c

− n

+ ... + c

−1

( z − a)n −1

+ c (z − a)n + ... и

d n −1

((z − a)n f (z)) = (n − 1)!c

+ n!c ( z − a) + ... . Таким образом,

dzn −1

−1

Re s f (z) =

lim

d n −1

[(z − a)n f ( z)]

z = a

(n − 1)! z

→ a dzn −1

В частности, для полюса первого порядка

Re s f (z) = lim(z − a) f (z) .

z=a

z→a

Еще одна формула для вычисления вычета в полюсе первого порядка:

Пусть

f (z) = ϕ (z) , ϕ, ψ - аналитические, ϕ(a)≠0,ψ(a)=0,ψ′(a)≠0 (ψ имеет нуль кратности

ψ (z)

один). Тогда

ϕ(a)

Re s f (z) =

z = a

ψ '(a)

Действительно, что при сделанных предположениях ψ (z) = (z − a)g(z), g (a) ≠ 0 . Кроме

того, ψ '(z) = (z − a)g'(z) + g(z)

, откуда следует, что g(a) = ψ '(a) . Поэтому

Re s f (z) = Re s

ϕ (z) = lim(z − a)

ϕ(z)

= ϕ(a) =

ϕ(a)

(z − a)g (z)

z = a

ψ (z)

z → a

g(a)

ψ '(a)

2.Вычет в изолированной особой точке ∞.

Если z=∞ изолированная особая точка функции f, то существует кольцо K={R<|z|<∞}, где f аналитична.

Определение . Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке ∞ называется величина

Re s f (z) = 1 ∫ f (z)dz, R < ρ < ∞ ,

z = ∞	2πi C ρ	−

Логинов А.С. Лекции по ТФКП

где Cρ− - окружность с центром в начале координат, радиуса ρ , проходимая по часовой стрелке (отрицательно ориентированная и достаточно большого радиуса).

							∞
		Для изолированной особой точки ∞ из теоремы Лорана следует, что f (z) = ∑ck zk , где
							k = −∞
ck	=	1	∫	f (ζ )		dζ , k = 0,±1,±2,... . Поэтому	Re s f (z) = −c−1 .

		2πi		ζ	k +1
		2πi	C ρ	ζ			z = ∞
							z = ∞

3.Теоремы о вычетах.

Основная теорема. Пусть D - ограниченная, односвязная область, ограниченная кусочно- гладкой кривой Жордана ∂D, f(z) – аналитическая в D, кроме конечного числа изолированных особых точек ak, k=1,…,n, f непрерывна в D ∂D. Тогда

	n
∫ f (z)dz = 2πi∑Re s f (z) .
∂D	z = ak
	k =1

Окружаем каждую точку ak достаточно малой

окружностью Ck ,

ориентированной положительно.

	n
Тогда ∫ f ( z)dz = ∑ ∫ f ( z)dz , откуда и следует требуемое утверждение.
∂D	k =1 C
	k

Теорема о сумме вычетов. Если функция f аналитична в С кроме конечного число точек a1,…,an, то

n
∑Re s f (z) + Re s f (z) = 0 .
k =1	z = a	k	z = ∞

Выберем окружность C достаточно большого радиуса так, чтобы все точки a1,…,an попали

внутрь. По предыдущей теореме − Re s f (z) =	1	∫	f (z)dz =	n
				Re s f (z) .
	2πi
z =∞				∑ z = ak
		C		k =1

4. Принцип аргумента.

Теорема. D- ограниченная, односвязная область, ограниченная кусочно гладкой кривой Жордана ∂D, f(z) – аналитическая в D, кроме конечного числа полюсов ak, , k=1,…,p, порядков αk,, f

непрерывна в D∂D, f(z)≠0 в D∂D, кроме нулей bk D, , k=1,…,n, кратностей βk. Тогда

1 ∫ f '(ζ ) dζ = N − P , 2πi ∂D f (ζ )

p	n
где P = ∑αk	суммарный порядок полюсов, а N = ∑βk суммарная кратность нулей.
k =1	k =1

Доказательство.

Выберем достаточно малые окрестности нулей, границы которых Bk и окрестности полюсов

функции f(z) с границами Ak .

Логинов А.С. Лекции по ТФКП

Как это уже не однократно отмечалось:

f ' (z)

dz =∑

dz + ∑

dz .

2πi ∂∫D

2πi B∫

f (z)

k =1

f (z)

k =1

2πi A∫ f (z)

В некоторой окрестности нуля b кратности β справедливы равенства:

β −1

f '(z)

ϕ'(z)

f (z) = (z − b)

ϕ(z), f '(z) = β (z − b)

ϕ(z)

+ (z − b)

ϕ '(z) ,

ϕ (z)

. Вклад в

f (z)

z − b

1 f '(z)

сумму соответствующего слагаемого:

∫

dz = β .

2πi

f (z)

2πi

z − b

Аналогично, в некоторой окрестности полюса будет выполнено:

−α

−α −1

−α

f '(z)

α ψ '(z)

f (z) = (z − a)

ψ (z), f

'(z) = (−α )(z − a)

ψ (z) + (z − a)

ψ '(z) ,

= −

+ ψ (z)

f (z)

z − a

и соответствующее слагаемое будет равно:

∫

f '(z)

dz = −

∫

dz = −α , откуда

2πi

z − a

f (z)

f ' (z)

f ' ( z)

dz = ∑Re s

+ ∑Re s

= ∑(−αk ) +∑βk = N − P

2πi ∂∫D f (z)

k =1 z=ak

f (z) k =1

z=bk

f ( z)

k =1

Теорема. Принцип аргумента ( без доказательства ) В условиях предыдущей теоремы:

(D - ограниченная, односвязная область, ограниченная кусочно гладкой кривой Жордана ∂D, f(z) – аналитическая в D, кроме конечного числа полюсов ak, , порядков αk, f непрерывна в D∂D, f(z)≠0 в D∂D, кроме нулей bk кратностей βk. ) Справедливо равенство

N − P =	1	∂D arg f (z)
	2π

где ∂D arg f (z) - приращение аргумента функции f при однократном обходе точкой z

границы ∂D ( область слева ).

Основная теорема алгебры. Всякий многочлен P(z)=Pn(z) в комплексной плоскости имеет ровно n корней (учитывается суммарная кратность нулей).

Доказательство. lim Pn (z) = ∞, следовательно, все нули лежат в некотором круге радиуса R,

z →∞

∫

P'(z)

dz = N , далее

пусть число нулей с учётом кратностей равно N. Тогда

2πi

P(z)

| z|= R

nan zn −1 + ...

+ b

+ ...

P'(z)

1 z

ϕ(z) , где ϕ(z) аналитична в {R1<|z|<∞}. Поэтому

P(z)

zn + ...

+ c

+ ...

1 z

∞

имеем разложение в ряд Лоранаϕ (z) = 1 + ∑

, тогда

k =1

P'(z)

∞

∑

ndk

, откуда следует

∫

P'(z)

dz = n .

k +1

2πi

P(z)

k =1 z

| z|= R

P(z)

§2. Вычисление интегралов

1.Определение несобственного интеграла

Особенности на концах. γ - кусочно гладкая, a C ( начало ), b С ( конец ). F(z) непрерывна во всех конечных z на γ кроме быть может точек a, b. Будем предполагать, что любая окружность с центром в a пересекает кривую не более чем в одной точке.

Логинов А.С. Лекции по ТФКП

Несобственный интеграл определяется по формуле: ∫ f ( z)dz =	lim	∫ f (z)dz .
γ	r →0, R →∞	γ r ,R
γ		γ r ,R

Определение. Интеграл сходится абсолютно, если существует ∫| f ( z) || dz | .

Аналогично определяется несобственный интеграл в случае внутренних особенностей

∫ f (z)dz = lim		∫ f (z)dz +	lim	∫ f (z)dz .
γ	r →0, R →∞	γ r ,R	s →0, S →∞	γ s ,S

∞

2. Интегралы вида ∫ f ( x)dx

−∞

Лемма. Если f(z) аналитична в { Im z >= 0 }, кроме конечного числа особых точек ak { Im z >

0} и lim max | zf (z) |= 0 , то

R →∞ z C R

∞

∫f (z)dz = 2πi∑Re s f (z)

−∞ ak

Доказательство. Для R>0 рассмотрим контур С=[-R,R] CR , СR – верхняя полуокружность, проходимая против часовой стрелки, [-R,R] – отрезок, проходимый слева направо. Считаем, что R выбрано достаточно большим так, что контур C содержит все ak . Тогда

2πi∑Re s f (z) =∫ f (z)dz =					R
2πi∑Re s f (z) =∫ f (z)dz =			∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz = ∫ f (x)dx + ∫ f (z)dz (*)
	ak	C	[− R, R ]	C R	− R	C R
		C	[− R, R ]	C R	− R	C R
Далее
		π
\| ∫ f (z)dz \|=\| ∫ f (Reit )Rieit dt \|≤ π max \| f (z)z \| .
C R		0		z C R
C R		0

Переходя к пределу в (*) при R→∞ получим требуемое равенство.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ТФКП_1_2

#
11.05.20141.91 Mб54tfkp.pdf
#
11.05.2014255.18 Кб55tfkp2.pdf