ТФКП_1_2 / tfkp

Логинов А.С. Лекции по ТФКП

Пример. Функция Жуковского 0.2 ≤| z |≤ 2,0 ≤ arg z ≤ π .

2

Функция Жуковского 1 ≤| z |≤ 2,0 ≤ arg z ≤ 2π .

Щель [−1,1] на действительной оси получена в результате сплющивания единичной окружности .

плоскость с щелью [−1,1] . Первая однозначная ветвь f1(w) переводит D* в |z|<1, вторая ветвь f2(w)

переводит D* в |z|>1. Точки w=±1 являются точками ветвления.

31

окружности точка 1 отображается в ∞ , поэтому, образом единичной окружности будет единичная z0

окружность.

π

3) Угол { z: arg z (0, α),0 <α < 2π } на верхнюю полуплоскость w = zα . Напоминание

z β = r β eiβϕ .

4)В частности w=z2 отображает первый квадрант на верхнюю полуплоскость.

5)Плоскость с разрезом по положительной части вещественной оси на верхнюю

7) Частный случай

32

Логинов А.С. Лекции по ТФКП

11)

Логинов А.С. Лекции по ТФКП

12)

Пример. Отобразить область

34

Логинов А.С. Лекции по ТФКП

Пример.

w1 = z + z2 − 1 (нужная ветвь) на верхнюю полуплоскость, затем w2=w12. Пример. Отобразить верхнюю полуплоскость с вырезанными полукругами

| z + 1 |< 1,| z − 1 |< 1 на верхнюю полуплоскость.

Все три обобщенные окружности γ1 ,γ 2 ,γ 3 проходят через точку 0, поэтому, если перевести 0

симметричные точки относительно γ1 ,γ 2 ,γ 3 , найдем симметричные точки относительно прямых

γ1*,γ 2 *,γ 3 * в плоскости w1 . Возьмем в качестве симметричных точек относительно γ1 точки i,−i ,

образами которых будут − i,i и поэтому γ1 * будет вещественной осью. Для γ 2 возьмем 1, ∞ ,

образами которых будут 1,0, следовательно γ 2 * - вертикальная прямая, проходящая через точку 1/2.

Для γ 3 * возьмем -1, ∞ с образами -1,0. γ 3 * - вертикальная прямая, проходящая через точку -1/2.

35

Логинов А.С. Лекции по ТФКП

w1

-1/21/2

0

Далее растяжение в π раз: w3 = πw2 . Полученную полу-полосу переведем в верхнюю плоскость с вырезанным полукругом: w4 = ew3 , которая переводится в верхнюю полуплоскость

Глава 4. Теория интеграла

Далее всюду в этой главе рассматриваются однозначные функции. §1. Понятие интеграла. Теорема Коши.

1.Интеграл и его свойства. Для кривой γ и функции f(z), определенной на ней,

n −1

рассматриваются интегральные суммы ∑ f (ζ k )(zk +1 − zk ) .

k =0

k+1

Интеграл определяется, как предел этих сумм в стандартном смысле (характеристика стремится к нулю, предел не зависит от выбора разбиения и промежуточных точек ) и обозначается

∫ f (z)dz . Если кривая имеет параметризацию z(t), t [α,β], интегральные суммы в определении будут

γ

выглядеть следующим образом

Для непрерывной функции f(z) и непрерывно дифференцируемой кривой z(t), t [α,β] эти

β

суммы будут сходиться к интегралу ∫ f (z(t))z'(t)dt . Расписывая действительную и мнимую части,

α

интеграл можно выразить через криволинейные интегралы

36

Логинов А.С. Лекции по ТФКП

∫ f (z)dz = ∫udx − vdy + i∫vdx + udy .

Это равенство можно принять за определение интеграла в случае, когда последние два интеграла существуют.

Свойства интеграла по заданной кривой:

1) Линейность: ∫(αf (z) + βg(z))dz = α ∫ f (z)dz + β ∫g (z)dz .

2)Аддитивность по множеству:

∫f (z)dz = ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz .

γ η γ η

остается слева

2.Теорема Коши.

Если D- ограниченная область, ΔD, граница которой ∂Δ - кусочно гладкая Жорданова кривая из D, гомотопная нулю (область, ограниченная этой кривой, односвязна ) и f аналитическая в

D, то ∫ f (z)dz = 0 .

∂

Доказательство. Для действительной и мнимой частей интеграла воспользуемся формулой Грина и условиями Коши-Римана:

∫ f (z)dz = ∫udx − vdy + i ∫vdx + udy = ∫∫(−vx − uy )dxdy + i∫∫(ux − vy )dxdy = 0

∂ ∂ ∂

Формула Грина справедлива и для многосвязных областей. Поэтому справедлива

Обобщенная теорема Коши. Пусть D- ограниченная область с границей ∂D= 0 1 … m ,

а f функция, аналитическая в D и непрерывная в D = D U ∂D , тогда ∫ f (z)dz = 0 .

∂D

Следствие. В области D интеграл ∫ f (z)dz не зависит от пути интегрирования, а только

γ

от начальной и конечной точек кривой.

Таким образом, интеграл от аналитической функции в многосвязной области D не изменяется, если путь интегрирования непрерывно деформировать, оставляя неподвижными концы.

§2 Интеграл Коши

1.Интегральная формула Коши.

37

Логинов А.С. Лекции по ТФКП

Пусть D - m-связная область с границей ∂D= 0 1 … m-1 и f – аналитическая в D,

непрерывная в D = D ∂D функция. Имеет место формула

Доказательство. Если z D∂D, то равенство нулю интеграла следует из аналитичности

f (ζ )

подинтегральной функции ζ − z для всех ζ D.

Пусть C – окружность с центром в z: ζ(t)=z+reit достаточно малого радиуса.

Для области с границей

∂D C − точка z является внешней.

Доказательство. Граница Г предполагается спрямляемой. Обозначим ее длину через l. Выпишем равенства, необходимые для вычисления производной:

38

Логинов А.С. Лекции по ТФКП

Выражение внутри второго интеграла преобразуется к виду:

Выберем δ окрестность точки z0 , целиком лежащую в области D

можно доказать существование старших производных и формулу для их вычисления.

§3 Первообразная.

1.Теорема Морера.

z

Теорема. Пусть D односвязная область, f(ζ) непрерывна в D и интеграл F ( z) = ∫ f (ζ )dζ ,

z0

z,z0 D не зависит от пути интегрирования, или, что тоже, ∫ f (ζ )dζ = 0 для любой замкнутой

γ

кривой Жордана, лежащей в D. Тогда F(z) аналитическая в D и ее производная F′(z)=f(z). Доказательство.

Рассмотрим две точки z и z+ z, путь из z0 в z обозначим γ, путь из z0 в z+ z пусть будет γ γ1,

где γ1 - отрезок: z(t)=z+ z t, t [0,1].

Тогда

Определение. Функция F(z) такая, что F′(z)=f(z) называется первообразной для f(z) на рассматриваемой области.

Теорема. Любые две первообразные одной и той же функции отличаются на константу.

39

a

Доказательство. Если F(z) – первообразная для функции f ( z) , то

z

∫ f (ζ )dζ − F ( z) = С С = −F ( z0 )

z0

Глава 5. Ряды Тейлора и Лорана §1 Ряд Тейлора аналитической функции

Напоминание. Равномерно сходящийся на γ ряд из непрерывных функций можно почленно интегрировать.

1.Теорема Тейлора.

Теорема (Тейлор). Если f аналитическая функция в области D, то для каждой точки z0 D имеет место разложение