ТФКП_1_2 / tfkp

Логинов А.С. Лекции по ТФКП

Глава 1. Основные понятия

§1 Операции над комплексными числами

Комплексные числа и операции над комплексными числами изучались на первом семестре. Основные понятия, связанные с комплексными числами: алгебраическая форма записи комплексного числа, операции над комплексными числами, вещественная (действительная) и мнимая части ,

Re z, Im z , сопряжённые числа и следующие их свойства

z1 z2 = z1 z2 , z1 + z2 = z1 + z2 .

Формула Бинома Ньютона: для любых комплексных чисел a,b и натурального n справедливо

Аргумент и модуль комплексного числа z=x+iy,

|z|= r = x2 + y2 , главное значение аргумента: ϕ=arg z, arg z [0,2π ), Arg φ = arg φ+2πk .

Tригонометрическая форма записи комплексного числа: z=reiϕ =r ( cos φ +i sin φ ). Расстояние между комплексными числами ρ (z1,z2)=| z1 - z2|

Пример: Множество {z − i + z + 1 = 2} представляет собой геометрическое место комплексных чисел, сумма расстояний которых до i и -1 равна 2. Эллипс с фокусами в i и -1.

Возведение в степень, формула Муавра: если z=reiϕ , то zn=rneinϕ =rn( cos nφ +i sin nφ ).

Извлечение корней: если wn=z, то w = n z ,| w |= n | z |, arg w = arg z + 2πk , k = 0,1,..., n − 1. n

Здесь под n | z | понимается арифметическое значение корня.

§2 Комплексная плоскость

Множество комплексных чисел удобно интерпретировать как плоскость, которую называют комплексной плоскостью и обозначают C, комплексное число – это точка на этой плоскости. Можно рассматривать комплексное число, как радиус вектор. В последнем случае операции сложения комплексных чисел совпадают с операциями сложения векторов. Комплексная плоскость С с добавленной к ней несобственной «бесконечно удаленной точкой» ∞ называется расширенной

комплексной плоскостью и обозначается C . Геометрически бесконечно удаленную точку можно интерпретировать с помощью сферы Римана.

1

Логинов А.С. Лекции по ТФКП

Рассмотрим сферу S, касающуюся комплексной плоскости в точке (0,0). Между точками

сферы S и точками расширенной комплексной плоскости C устанавливается взаимнооднозначное соответствие, как показано на рисунке.

w

P

A=(u,v,w)

y,v

ϕ

B=(x,y)

u,x

Стереографическая проекция (сфера Римана)

Именно, из верхнего полюса сферы проводится луч, соединяющий точку сферы A с некоторой точкой B плоскости. Самому полюсу P соответствует бесконечно удаленная точка ∞. Эта сфера называется сферой Римана. Это отображение для случая сферы радиуса 1 задается следующими функциями:

Можно показать, что прямые и окружности из C переходят в окружности на S, а углы между пересекающимися кривыми сохраняются.

С точки зрения расстояния, введенного для комплексных чисел, комплексная плоскость представляет собой евклидово пространство. Таким образом, для комплексных чисел используются те же определения и справедливы те же теоремы, связанные со сходимостью в этом пространстве:

Окрестность точки z0: Uε(z0)= {|z - z0|<ε }.

Окрестность бесконечно удалённой точки : U(∞)={|z|>R} .

2

zn → z0 xn → x0 , yn → y0

Критерий Коши сходимости последовательности к конечному пределу (в С) :

ε Ν n>Ν m>Ν: zn - zm < ε .

Множество комплексных чисел является линейным пространством. Наличие метрики и операций линейного пространства позволяет ввести такое понятие, как числовой ряд. Комплексный

ряда. Таким образом, изучение комплексного ряда сводится к изучению двух вещественных рядов. Наиболее важными свойствами рядов, используемых в дальнейшем, являются: абсолютная сходимость, свойства суммы, разности рядов, перестановка и перемножение абсолютно сходящихся рядов.

§3 Некоторые понятия, относящиеся ко множествам. Кривые.

смысле, это расстоянием не является, так как не выполняется первое свойство или аксиома расстояния.

Предельная точка множества – точка, в любой проколотой окрестности которой есть хотя бы одна точка множества.

Замкнутое множество – множество, содержащее все свои предельные точки. Внутренняя точка множества – точка, принадлежащая множеству вместе с некоторой своей окрестностью, открытое множество – множество, каждая точка которого внутренняя.

Граничная точка множества – любая окрестность точки содержит, как точки из множества, так и точки из его дополнения. Граница множества D (множество всех граничных точек) обозначается ∂D, она всегда замкнута.

Кривая z=z(t)=x(t)+iy(t), t [α,β] . На плоскости этому соответствует параметрическое задание

x= x(t)

=, t [α , β ] . y y(t)

Ориентация кривой или направление обхода, непрерывная кривая: x(t), y(t) обе непрерывны.

Непрерывная кривая называется простой или кривой Жордана, если различным значениям t1, t2 (кроме может быть α и β ) соответствуют различные точки z(t1), z(t2) на комплексной плоскости (у кривой нет самопересечений).

Кривая замкнута, если z(α)=z(β) (не путать с замкнутостью в смысле теории множеств ). Связное множество. Любые две точки этого множества можно соединить простой кривой,

лежащей в этом множестве.

Областью, если не оговорено что-либо другое, будем называть связное открытое множество. Множество D C называется n - связным, если ∂ D состоит из n связных, попарно

непересекающихся компонент. Иногда используется термин: n - связная область.

Кривая называется гладкой, если x(t), y(t) и их производные непрерывны и z′(t)=x′(t)+i y′(t)≠ 0. Если кривая замкнута, то дополнительно требуется z′(α)=z′(β) ( точнее z′(α+0)=z′(β - 0) ).

Кусочно-гладкая кривая. Непрерывная кривая, состоящая из конечного числа гладких кусков.

3

Логинов А.С. Лекции по ТФКП

§4 Функции комплексного переменного

Определение. w = f (z), z D. Каждому z ставится в соответствие одно или несколько значений w. Множество всевозможных значений f (z) называется областью значений функции f . Если сопоставляемое значение единственно, то функция называется однозначной и в этом случае говорят об однозначном отображении D на .

Примеры:

w= z2, z C, однозначная функция.

w= n z является многозначной функцией.

Определение логарифмической функции (большой логарифм): w = Ln z = ln r + i (ϕ + 2πk ), r=|z|, ϕ = arg z [ 0 , 2π ) , k-целое, D = C\0. Функция Ln z является многозначной функцией.

Главная ветвь логарифма (маленький логарифм): w = ln z = ln r + i ϕ, r=|z|, ϕ = arg z [0,2π ), D = C\{0}. Функция ln z является однозначной функцией.

Пример: ln(-1)= iπ .

w = Arg z = arg z + 2πk, (k-любой целое) многозначная функция.

Степенная функция: w = zb определяется по формуле zb = eb Ln z . Она может быть для некоторых b многозначной ( для натуральных b определение согласуется с операцией возведения в степень путём перемножения ).

из D для которых f(z)=w. Обратная функция не обязана быть однозначной.

Если f и f -1 однозначные, то отображение z → w = f(z) называется однолистным (взаимнооднозначное отображение).

Пример: функция w=z2 отображает однолистно область D={|z|<1,0< arg z < π } на верхний

2

полукруг

Пример: функция w=z2 отображает однолистно область D={|z|<1, 0< arg z < π } на круг радиуса 1 с вырезом по положительной части вещественной оси

4

Логинов А.С. Лекции по ТФКП

Пример: Найти образы линий прямоугольной сетки квадрата [-1,1] × [-1,1] при отображении w=z2+z. Отображение имеет вид

Пример: Найти образы линий прямоугольной сетки квадрата [-1,1] × [-1,1] при отображении w=ez. Для z = x + iy получим w = u + iv = exeiy = ex cos y + iex sin y . Таким образом, это отображение можно представить в виде:

u= ex cos y v = ex sin y .

Прямоугольная сетка переходит в полярную сетку (лучи и окружности)

Пример: Найти образы линий прямоугольной сетки квадрата [-1,1] × [-1,1] при отображении w = ez 2 . Расписывая действительную и мнимую части, отображение можно записать в виде:

Образы координатной сетки показаны на рисунке.

5

Логинов А.С. Лекции по ТФКП

Пример: Найти образы линий прямоугольной сетки квадрата [0,2] × [-1,1] при отображении w = 1 + z + z2 . Отображение имеет вид

6

Логинов А.С. Лекции по ТФКП

При исследовании многозначных функций выделяют однозначные ветви. Понятие

однозначной ветви многозначной функции рассмотрим на примере. У функции w = z в качестве области определения D возьмём всю комплексную плоскость с вырезом по положительной части действительной оси, x [0,∞).

В этой области рассмотрим функции

будет лежать в диапазоне 0 < arg z < 2π ). Эти функции представляют собой однозначные ветви исходной функции в области D. Первая однолистно отображает область D на верхнюю полуплоскость, вторая функция однолистно отображает область D на нижнюю полуплоскость. Однозначные ветви можно выделять различными способами. Точное определение однозначной ветви будет дано позже.

Определение предела и непрерывность По Коши: z0 C ,

f (z) U (w0 ) .

Замечание: Если f(z0)≠∞, то непрерывность в этой точке эквивалентна непрерывности действительной и мнимой части в этой точке.

расширенной комплексной плоскости.

7

Логинов А.С. Лекции по ТФКП

§5 Функциональные последовательности и ряды

Ряд называется равномерно сходящимся на D, если его частичные суммы

n

Sn (z) = ∑ fk (z) равномерно сходятся на D к некоторой функции S(z), т. е.

k =0

ε > 0 Ν n > Ν z D: Sn (z) − S (z) < ε .

общий член этого ряда fk (z) стремится к нулю в этой точке.

Аналогичное утверждение можно сформулировать для равномерной сходимости:

∞

Если ряд ∑ fk ( z) равномерно сходится на D , то общий член этого ряда fk (z) равномерно

k =0

стремится к нулю на D.

Достаточный признак Вейерштрасса:

Если fk(z) ≤ αk, z D и числовой вещественный ряд ∑αk сходится, то ряд ∑ fk(z) сходится на D равномерно.

Полезная теорема. Сумма равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций (равномерная сходимость на компакте), есть функция непрерывная.

k =0

Теорема 1 (Первая теорема Абеля ) Если ряд (1) сходится в точке z0 ≠ 0, то он сходится абсолютно в круге |z| < |z0|.

8

Логинов А.С. Лекции по ТФКП

∞

Доказательство: Ряд ∑ck z0k сходится, следовательно, согласно необходимому условию

∞

Таким образом, ряд из модулей исходного ряда мажорируется сходящимся рядом ∑Bqk в каждой

k =0

точке круга {| z |<| z0 |} .

Следствие 1. Для любого степенного ряда (1) существует число R (0 ≤ R ≤ ∞) такое, что при |z|<R ряд сходится, при |z|>R ряд расходится. Это число называется радиусом сходимости степенного ряда. Круг {|z| < R} называется кругом сходимости.

Следствие 2. Радиус сходимости комплексного степенного ряда (1) совпадает с радиусом

имеют один и тот же радиус сходимости.

Действительно, пусть их круги сходимости имеют радиусы R1, R2. Во всех точках |z|<R1 ряд

(1)сходится абсолютно и, следовательно, (2) тоже сходится абсолютно, т.к. ряды из модулей для (1) и

(2)одинаковы. По этой же причине справедливо обратное утверждение, во всех точках |z|<R2 будет

∞

сходится абсолютно не только ряд (2), но и ряд (1). После этого можно рассмотреть ряды ∑| ck | z k

k =0

∞

и ∑| ck | xk и показать, что они имеют один и тот же радиус сходимости, используя первую теорему

k =0

Абеля.

В частности, справедливо

Следствие 3. Комплексный ряд с вещественными коэффициентами имеет тот же радиус сходимости, что и вещественный ряд с этими коэффициентами.

Теорема 2 (Вторая теорема Абеля ) Если ряд (1) имеет радиус сходимости R, то он сходится равномерно в любом замкнутом круге радиуса r < R.

∞

Доказательство: По первой теореме Абеля ряд ∑ ck r k сходится, кроме того

этом множестве.

9

Логинов А.С. Лекции по ТФКП

следствие 2 из первой теоремы Абеля, получим R = ∞. Из определения следует, что sin (-z) = - sin z. 4) Функция cos z , z C . По определению полагаем

следствие 2 из первой теоремы Абеля, получим R = ∞. Из определения следует, что cos (-z) = cos z. 5) Функция sh z , z C . По определению полагаем