4) Элементы комбинаторики (принцип перестановки, размещения, сочетания).

Комбинаторика – это наука о расположении элементов в определенном порядке и о подсчете числа способов такого расположения.

Всякое упорядоченное конечное множество называется перестановкой, образованной из его элементов. Число перестановок из n элементов обозначают через Pn:

Размещением из n элементов по k называется всякая упорядоченная часть множества a1, a2 , a3,..., an, содержащая k элементов. Число размещений из n элементов по k обозначают через :

Сочетанием из n элементов, взятых по k , называется всякая часть множества a1, a2 , a3,..., an, содержащая k элементов. Число всех сочетаний из n элементов по k обозначают через :

5) Теорема сложения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей для совместных событий: P (A + B) = P (A) + P (B) – P (AB) для любых событий A и B.

Теорема сложения вероятностей для несовместных событий: если AB =Ø, то P (A B) P (A) P (B).

6) Зависимые и независимые события. Умножение вероятностей.

Событие A называется зависимым от события B, если вероятность появления события A зависит от того, произошло или не произошло событие B.

Событие A называется независимым от события B, если возможность наступления события A не зависит от того, произошло событие B или нет.

Вероятность того, что произошло событие A при условии, что произошло событие B, называют условной вероятностью события A при условии B, обозначают P(A/ B).

Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже произошло, т.е.:

P (AB) = P (B) P (A / B)

или

P (AB) = P (A) P (B/ A)

7) Формула полной вероятности.

Если событие A может произойти только при выполнении одного из событий H1, H2,..., Hn , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события A вычисляется по формуле полной вероятности:

P(A) = P(H1)P(A/H1) + P(H2 )P(A/ H2) + ...+ P(Hn )P(A/Hn )

8) Формула Байеса:

где,

P (A) — априорная вероятность гипотезы А;

P (A/B) — вероятность гипотезы A при наступлении события B;

P (B/A) — вероятность наступления события B при истинности гипотезы A;

P (B) — полная вероятность наступления события B.

9) Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли.

Несколько испытаний называются независимыми относительно события A, если вероятность появления события A в каждом из них не зависит от исходов других испытаний.

Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний.

Если вероятность p наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, определяется по формуле Бернулли:

где,