6.3. Возбуждение резонаторов

Поля идеального (без потерь) резонатора, полученные в виде решений однородных (без источников в виде плотностей электрического и магнитного токов) уравнений Максвелла, образуют полную ортогональную систему функций. Условия ортогональности представляются интегралами: . Эти интегралы равны нулю при и «норме» , если . Норма ‒ это вещественное положительное число, выбор значения которого определяет коэффициент в выражениях для полей. Обычно принимают . Для решения задачи возбуждения резонатора (определение амплитуд электрических и магнитных полей, которые в нем возбуждаются сторонними источниками) используется векторное тождество, образующееся из выражения . Для раскрытия этого выражения, воспользуемся оператором Гамильтона (вектор набла): . Получаем тождество: . Запишем два тождества: . Поле с индексом ‒ одно из собственных полей резонатора, поля без индекса ‒ полное поле, возбужденное в резонаторе источниками: . Здесь ‒ амплитуды поля с номером , ‒ касательная составляющая поле на отверстии в стенке резонатора, возбужденная сторонними источниками. Запишем выражения для роторов полей:

Здесь ‒ собственная частота колебания с номером . Теперь проинтегрируем оба тождества по объему резонатора, используя для левой части теорему Стокса: . На поверхности стенок резонатора поле нормально к ним, поле касательно, вектора векторного произведения и элемента поверхности взаимно перпендикулярны и интегралы по поверхности обращаются в ноль, за исключением интеграла, содержащего , который равен интегралу по поверхности отверстия: . Условия ортогональности приводят к тому, что во всех бесконечных рядах остается только по одному члену с . Получаем два уравнения относительно неизвестных амплитуд :

Решение этих уравнений: ,

При , имеет место резонанс, и амплитуды стремятся к бесконечности, так как не учитываются потери в резонаторе. При учете потерь в знаменателе появляется вещественное слагаемое, ограничивающее рост амплитуд полей. Интегралы в числителях позволяют оценить вклад тех или иных источников в амплитуды полей. Электрические токи реализуются чаще всего в виде штырей, вводимых внутрь резонатора, магнитные токи ‒ в виде петель, один из концов которых соединен со стенкой резонатора (вектор индукции, создаваемый током, протекающим по проводнику петли, можно рассматривать как эквивалентную плотность магнитного тока ). Касательная составляющая электрического поля появляется на отверстии, возбуждаемом извне. В зависимости от направления источника возбуждения , по отношению к направлению полей в месте нахождения источника, вклад его изменяется. Надо отметить, что источники предполагаются заданными; на самом же деле поле в резонаторе влияет на источники и точное значение источников может быть получено в виде решения самосопряженной задачи, когда искомые амплитуды входят в выражения, описывающие источники.

6. 4. Эквивалентные параметры отрезков лп, используемых в качестве резонаторов

Обычно устройства СВЧ разрабатывают на основе прототипной схемы из сосредоточенных элементов, которые затем заменяются элементами СВЧ. Резонаторы используются в АГ СВЧ и полосно-пропускающих фильтрах (ППФ) СВЧ на основе связанных резонаторов. Частотные зависимости реактивных сопротивлений резонаторов и контуров должны совпадать, по крайней мере, в области полосы пропускания ППФ и около нее, а так же на резонансной частоте АГ.. Для сосредоточенных элементов эти зависимости пропорциональны частоте, для резонаторов они нелинейно зависят от частоты. В качестве критерия совпадения характеристик примем равенство углов их наклона вблизи резонансных частот контура и резонатора. Параллельный контур замещается резонатором в виде закороченного на конце отрезка ЛП длиной . Полное реактивное сопротивление параллельного контура , где ‒ резонансная частота контура. Для резонатора , где ‒ волновое сопротивление отрезка ЛП; ‒ параметры среды, заполняющей ЛП; ‒ геометрическая длина отрезка. Если , то , где ‒ эффективная диэлектрическая проницаемость ЛП; ‒ скорость света в свободном пространстве. Тогда . Очевидно, что при аргумент тангенса равен . Представим частоту , где ‒ отклонение от резонансной частоты. Если полоса пропускания ППФ гораздо меньше центральной частоты, . Так как , значение сопротивления резонатора будет равно:

Так как тангенс малого аргумента равен самому аргументу, получим равенство: , откуда следует , или . Перейдем теперь к определению эквивалентных параметров последовательного контура и резонатора в виде полуволнового отрезка ЛП. Реактивные сопротивления контура и резонатора равны: , причем аргумент тангенса на частоте равен . Тогда, представляя частоту через ее приращение относительно , получим равенство: , откуда следуют выражения для эквивалентной индуктивности и волнового сопротивления отрезка ЛП: . Необходимо отметить, что диапазон возможных реализаций волнового сопротивления отрезка ЛП значительно уже, чем диапазон возможных значений индуктивностей контуров прототипного ППФ. Для микрополосковых элементов он равен, примерно 10: от 20 до 200 Ом.