
- •Разложение вектора по базису
- •Модуль вектора. Длина вектора.
- •6.2. Свойства скалярного произведения
- •6.3. Выражение скалярного произведения через координаты
- •6.4. Некоторые приложения скалярного произведения
- •Смешанное произведение векторов и его свойства
- •Геометрические свойства смешанного произведения
- •Алгебраические свойства смешанного произведения
- •Формула вычисления смешанного произведения
6.2. Свойства скалярного произведения
1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba
Решение:
5. Если векторы а и b (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если a b, то ab=0. Справедливо и обратное утверждение: если ab=0 и а 0 b, то а b
.
6.3. Выражение скалярного произведения через координаты
Пусть заданы два вектора
Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов i, j, k:
т.е
Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.
Пример 6.2.
Доказать, что диагонали четырехугольника, заданного координатами вершин А(-4;-4;4), В(-3;2;2),C(2; 5;1), D(3;-2;2), взаимно перпендикулярны.
Решение: Составим вектора АС и BD, лежащие на диагоналях данного четырехугольника. Имеем: АС = (6;9;-3) и BD = (6;-4;0). Найдем скалярное произведение этих векторов:
АС • BD = 36 - 36 - 0 = 0.
Отсюда следует, что ACBD. Диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны.
6.4. Некоторые приложения скалярного произведения
Угол между векторами
Определение угла φ между ненулевыми векторами а = (ax; ay; az) и b=( bх; bу; bг):
Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов а и b:
Проекция вектора на заданное направление
Нахождение проекции вектора а на
направление, заданное вектором b,
может осуществляться по формуле
Работа постоянной силы
Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения А в положение В под действием постоянной силы F, образующей угол с перемещением АВ= S (см.рис. 15).
Из физики известно, что работа силы F при перемещении S равна
А=F•S•cos т. е. А=(F•S).
Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.
Пример 6.3.
Вычислить работу, произведенную силой F=(3;2;4), если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положенияA(2;4;6) в положение В(4;2;7). Под каким углом к АВ направлена сила F?
11
Векторным произведением векторов
и
называется
вектор
,
который определяется следующими
условиями:
1) Его модуль равен
где
-
угол между векторами
и
.
2) Вектор перпендикулярен к плоскости, определяемой перемножаемыми векторами и .
3) Вектор направлен так, что наблюдателю, смотрящему с его конца на перемножаемые векторы и , кажется, что для кратчайшего совмещения первого сомножителя со вторым первый сомножитель нужно вращать против часовой стрелки (см. рисунок).
Векторное произведение векторов
и
обозначается
символом
:
(25)
или
(26)
Основные свойства векторного произведения:
1) Векторное произведение равно нулю, если векторы и коллинеарны или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым.
2) При перестановке местами векторов сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный (см. рисунок):
Векторное произведение не обладает свойством переместительности.
3)
(распределительное
свойство).
Выражение векторного произведения через проекции векторов и на координатные оси прямоугольной системы координат дается формулой
(27)
которую можно записать с помощью определителя
(28)
Проекции векторного произведения на оси прямоугольной системы координат вычисляются по формулам
(29)
и тогда на основании (4)
(30)
Механический смысл векторного произведения
состоит в следующем: если вектор
-
сила, а вектор
есть
радиус-вектор точки приложения силы,
имеющий свое начало в точке O, то
момент силы
относительно
точки O
есть
вектор, равный векторному произведению
радиуса-вектора
точки
приложения силы на силу
,
т. е.
Векторно-скалярное произведение трех векторов , и или смешанное их произведение вычисляется по формуле
(31)
Абсолютная величина векторно-скалярного произведения равна объему параллелепипеда, построенного на векторах , и . Объем пирамиды, построенной на векторах , и , получим по формуле
(32)
причем знак перед определителем должен быть выбран так, чтобы объем V был положительным (предполагается, что векторы , и не лежат в одной плоскости).
20. Три вектора , и называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной и той же плоскости. Для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю.
12