Задача про неперервне нарахування процентів
На яку величину зросте капітал K0, через n років при р% річних, якщо нарахування процентів здійснюють декурсивним методом – процентний платіж нараховується і додається до капіталу в кінці кожного розрахункового періоду. Декурсивне нарахування проценту найбільш поширене в світовій практиці.
Очевидно,
що при р%
річних розмір вкладу щорічно буде
збільшуватися в
раз, тобто в кінці n-го
року маємо
Отже, капітал K0 при річному нарахуванні складних процентів згідно ставки р% через n років зросте до величини Kn.
де:
- процентна ставка,
виражена в десяткових дробах.
- складний декурсивний коефіцієнт.
Якщо
нараховують проценти не один раз на
рік, а m
раз, при тому ж щорічному прирості р%,
процент нарахування за
частину року складе
,
а розмір вкладу за n
років при mn
нарахуваннях складе
(1)
Припустимо,
що проценти нараховуються кожні півроку
,
кожний квартал
,
щомісячно
,
кожний день
,
кожний час
і т.д. неперервно
.
Якщо число розрахункових періодів прямує до нескінченності, то можна стверджувати, що період розрахунку прямує до нуля.
Знайдемо
границю величини Кmn
при
(n
– число років, m
– число розрахункових періодів в році).
(2)
Отже, ми вивели формулу для кінцевої величини капіталу при неперервному нарахуванні складних процентів. Вона є неперервною функцією і дозволяє обчислити величину капіталу в будь-якій період часу.
Наведемо таблицю розмірів вкладів Кmn (якщо К0=1грошова одиниця, р=5%, n=20 років) згідно формули складних процентів (1) і формули неперервного нарахування процентів
|
формула складних процентів (1) |
формула неперервного нарахування процентів (2) |
||||
m=1 |
m=2 |
m=4 |
m=12 |
m=365 |
||
розмір вкладу, гр. од. |
2,6335 |
2,6851 |
2,7015 |
2,7126 |
2,7181 |
2,7182 |
Різниця між щорічним нарахуванням (m=1) і неперервним нарахуванням формула (2) незначна (біля 2,5%).
Зауваження. В практичних фінансово-кредитних операціях неперервне перерахування процентів застосовується рідко. Воно є досить ефективним при аналізі складних фінансових проблем, наприклад, при обгрунтуванні і виборі інвестиційних рішень.