§3 Поняття границі функції

3.1 Визначення границі функції

Нехай функція визначена на деякій підмножині множини дійсних чисел _, і – гранична точка множини . Нагадаємо, що у будь-якому –околі граничної точки міститься нескінченне число точок множини , проте сама точка може й не належати .

Визначення 1. (Гейне). Число називається границею функції при (або в точці ), якщо для довільної послідовності , збіжної до , відповідна послідовність значень функції збіжна до .

Якщо число – границя функції в точці , то пишуть або при .

Нехай функція має границю , тоді вона, очевидно, єдина. Це випливає з того, що збіжна послідовність може мати лише одну границю (див. гл.5, §1).

Визначення 2. (Коші). Число називається границею функції при (або в точці ), якщо для будь-якого можна знайти таке число , що при всіх , які задовольняють нерівність

виконується нерівність

Визначення границі функції в точці за Гейне і за Коші еквівалентні.

Відзначимо геометричний зміст визначення 2, скориставшись графіком функції (рис.40 ). Який би малий –окіл точки А не взяти, повинен існувати такий –окіл точки , що коли змінюється між і , графік функції знаходиться у смузі шириною між прямими . Підкреслимо, що в точці функція може набувати значення, яке не дорівнює А, або навіть бути невизначеною. Тому в визначенні 2 йдеться саме про нерівність

Рис.43

3.2 Односторонні границі

При дослідженні функції корисні поняття односторонніх границь.

Визначення 3 (Гейне). Число А називається правою (лівою) границею функції f(x) в точці х₀, якщо для довільної послідовності {x_n}X, x_n  x₀ (x_n  x₀) (nN), збіжної до х₀ , відповідна послідовність значень функції {f(x_n)} збіжна до А. При цьому вживають відповідно позначення

f(x_n)=A f(x_n)=A

або

f(x₀+0)=А (f(x₀-0)=А).

В окремому випадку, коли х₀=0, пишуть f(x_n)=A f(x_n)=A .

Визначення 4 (Коші). Число називається правою (лівою) границею функції в точці х₀ , якщо для будь-якого знайдеться таке число , що при всіх х, які задовольняють нерівностям

_,

виконується нерівність

Визначення 3 і 4, звичайно ж, еквівалентні.

Зв’язок між односторонніми границями і границею функції встановлює теорема 3.

Теорема 3. Функція f(x) має границю в точці х₀ тоді й тільки тоді, коли існують їх права і ліва границі в цій точці, які збігаються між собою, при цьому

.

3.3 Границя функції на нескінченності і нескінченні границі

Нехай функція f(x) визначена при хх₀ (хх₀).

Визначення 5. Число А називається границею функції f(x) при х (х-), якщо для будь-якого можна знайти таке , що при всіх х, які задовольняють нерівності , виконують нерівність

При цьому вживають відповідні позначення

f(x)=A f(x)=A

або

f(x)A, х+ (f(x)A, х-).

В разі, якщо існують границі функції f(x) як при х+, так і при х-, причому f(x)= f(x)=A , то вживають позначення

f(x)=A або f(x)A, х

Вище малося на увазі, що А – певне число. Іноді зручно розглядати нескінченні границі функції.

Визначення 6. Кажуть, що функція f(x) має своєю границею + (-) при хх₀ (або в точці х₀), якщо для будь-якого Е>0 можна знайти таке число δ>0, що при всіх х, які задовольняють нерівність 0<|x-x₀|<δ, виконується нерівність f(x)>E (f(x)<-E).

При цьому вживають відповідно позначення

f(x)=+ ( f(x)=-)

або

f(x)+ хх₀ (f(x)--, х х₀).

Аналогічно тому, як це зроблено в 3.2 цього параграфа, нескладно визначити також односторонні нескінченні границі

f(x)=±; f(x)=±.

Приклад 5. Використовуючи визначення, довести (3х-2)=1.

Δ Візьмемо будь-яке число ε>0. Задача полягає в тому, щоб по цьому ε знайти таке δ>0, при якому із нерівності |x-1|< δ випливала нерівність |f(x)-1|=|(3x-2)-1|< ε. Перетворюючи останню нерівність, отримаємо |(3x-1|< ε або |x-1|< .

Отже, якщо взяти δ , то для всіх х, які задовольняють нерівності |x-1|< δ, виконується нерівність |f(x)-1|< ε. Це і означає, що =(3х-2)=1.

Якщо, наприклад, ε=1, то δ≤ , якщо ε= , то δ≤ , якщо ε=0,01, то δ≤0,03 і т.д.; таким чином, δ залежить від ε. Тому в визначенні границі іноді пишуть δ= δ(ε).