4.Базис

Здесь мы будем изучать основные свойства базиса конечномерного пространства. Прежде всего ответим на вопрос о числе векторов произвольного базиса п-мерного пространства, заданного в предыдущем параграфе.

Теорема 1. Число векторов произвольного базиса п-мерного линейного пространства над числовым полем Р всегда равно размерности п пространства.

Доказательство. Пусть — произвольный базис пространства V_n. Возьмем произвольный вектор и поставим ему в соответствие координатную строку (при базисе ). Рассуждая так же, как и при доказательстве теоремы 2 предыдущего параграфа, получаем, что введенное нами соответствие является изоморфным отображением пространства V_k на пространство R_k k-мерных строк над полем Р. С другой стороны, согласно теореме 2, пространство V_n должно быть изоморфно с пространством R_n n-мерных строк над тем же полем Р, Следовательно, пространства R_k и R_n изоморфны.. Но мы знаем, что размерность пространства R_k равна k и размерность пространства R_n равна п, и что два линейных конечномерных пространства над полем Р тогда и только тогда изоморфны, когда размерности их равны (см, теоремы 1 и 3 предыдущего параграфа). Таким образом, k = п, и теорема доказана ■.

Пусть теперь и – два каких-нибудь базиса линейного пространства V_n над числовым полем Р. Базис (в дальнейшем - новый базис), очевидно, должен линейно выражаться через базис (далее – старый базис):

, (1)

где – некоторые числа из поля Р. В свою очередь базис должен линейно выражаться через базис .

, (2)

где – также некоторые числа из поля Р. Систему равенств (1) и систему равенств (2) можно объединить в следующие два равенства:

,

, (3)

где B и C квадратные матрицы n-го порядка с элементами из Р:

;

Мы видим, что -ый столбец матрицы В составлен из координат -го вектора нового базиса относительно первоначального базиса, -ый столбец матрицы С, составлен из координат -го вектора первоначального базиса относительно нового базиса. Матрица B называется матрицей перехода от базиса к базису , в дальнейшем мы будем обозначать её: . Очевидно, что C есть матрица перехода от базиса к базису , т.е. .

Посмотрим, как связаны между собой матрицы В и С. Предварительно докажем следующую лемму.

Лемма. Если базис пространства V_a над полем Р и

(4)

А и A’ — прямоугольные (в частности квадратные) матрицы из п строк и т столбцов с элементами из поля Р, то марицы А и A’ равны.

Доказательство. Пусть

, .

Перемножая матрицы и А, а также матрицы и А', получаем из равенства (4) следующее равенство:

откуда,

, .

Но всякий вектор пространства V_n единственным образом выражается через базис. Следовательно, , т. е. А = А' ■.

Обратимся теперь к равенствам (3). Подставляя выражение однострочной матрицы из первого равенства (3) во второе равенство (3), получаем: или, обозначая через Е единичную матрицу n-го порядка: откуда в силу только что доказанной леммы , т.е. или .

Мы, таким образом, пришли к следующей теореме.

Теорема 2. Матрица перехода B от базиса к базису пространства V_n- является невырожденной, причем матрица C перехода от базиса к базису является обратной относительно матрицы B.

Утверждение. Всякая квадратная невырожденная матрица порядка п с элементами из поля Р может служить матрицей перехода от одного базиса к другому базису пространства V_n.

Следствие. В п-мерном пространстве V_n существует бесконечное множество базисов, так как можно составить бесконечное множество квадратных невырожденных матриц n-го порядка с элементами из поля Р.