Изоморфизм линейных пространств

Определение: Два линейных пространства V и V' (они могут быть конечномерными и бесконечномерными) над одним и тем же числовым полем Р называются изоморфными, если между ними можно установить такое взаимно однозначное соответствие , которое сохраняется при сложении векторов и умножении вектора на число из поля Р, т. е. если можно по какому-нибудь правилу каждому вектору х из V сопоставить вполне определенный вектор х' из V': , , называемый образом вектора х, так, чтобы:

1. различные векторы из V имели различные образы и всякий вектор из V' являлся образом некоторого вектора из V, т.е.

если – инъективность;

– сюръективность

2. образ суммы двух векторов из V равнялся сумме образов этих векторов: .

3. образ произведения вектора из V на число из поля Р равнялся произведению образа этого вектора на то же самое число: .

Отображение, удовлетворяющее требованиям 1) – 3), обычно называется изоморфизмом или изоморфным соответствием пространства V на V'.

Свойства изоморфизмов.

1. Симметрии, т. е. если пространство V изоморфно отображается на пространство V', то и, обратно, существует изоморфное отображение пространства V' на V.

2. Рефлексивности, т. е. пространство V изоморфно отображается на самого себя, например изоморфным отображением на себя будет соответствие, при котором образом вектора х из V является тот же вектор х (тождественное отображение).

3. Транзитивности, т. е. если пространство V изоморфно отображается на пространство V', а V' изоморфно отображается на пространство V'', то V может быть изоморфно отображено на V''.

Отметим еще несколько простейших свойств изоморфизма линейных пространств.

4. При изоморфном отображении пространства V на V' нулевой вектор 0 из V имеет своим, образом нулевой, вектор 0' из пространства V'.

Доказательство. Возьмем из V произвольный вектор х', он будет образом некоторого вектора х из V. Согласно определению' изоморфизма получаем, что , т. е. 0' – нулевой вектор пространства V'.

5. При изоморфном отображении пространства V на V' образом вектора –х, противоположного вектору х из V, является вектор , противоположный образу х' вектора х.

Доказательство.

6. При изоморфном отображении пространства V на V' образы линейно зависимой системы векторов из V образуют также линейно зависимую систему, а образы линейно независимой системы из V также линейно независимы.

Доказательство. Возьмем какую-нибудь линейно зависимую систему векторов из V, Для нее можно указать такой ненулевой набор чисел из Р, что .

.

Образом правой части равенства является нулевой вектор 0' из V'. Следовательно, . Мы видим, что система образов линейно зависима.

Пусть теперь линейно независимая система векторов из V. Допустим, что система их образов линейно зависима. В силу свойств симметрии изоморфизма линейных пространств мы можем пространство V' изоморфно отобразить на пространство V, а именно это будет отображение, при котором вектор х является образом вектора . Отсюда по доказанному выше система векторов будет линейно зависима, что противоречит линейной независимости системы ■.

Понятие изоморфизма важно тем, что два изоморфных линейных пространства алгебраически неразличимы, т. е. обладают одними и теми же свойствами относительно установленных в них операции сложения векторов и умножения вектора на число из поля Р.

Пример. Пусть V — линейное пространство квадратных матриц порядка n над числовым полем Р и – пространство n²-мерных строк над тем же полем. Поставим в соответствие матрице

из V строку из . Такое соответствие является изоморфным.

Отметим, что для изоморфных пространств может существовать несколько и даже бесконечное множество изоморфных соответствий. Так, в данном примере можно было поставить в соответствие матрице А строку и нетрудно проверить, что здесь также получается изоморфное отображение пространства V на .

Теперь, обращаясь к конечномерным пространствам, выясним, когда эти пространства изоморфны.

Теорема 1. Два линейных пространства V_n u V_m над числовым полем Р различной размерности n и т не могут быть изоморфными.

Доказательство. Предположим противное – пусть пространства V_n и V_m изоморфны, а п ≠ т. Мы можем считать в силу свойства симметрии изоморфного соответствия, что п>т и пространство V_п изоморфно отображается на пространство V_т. В пространстве V_п существует по меньшей мере одна линейно независимая система векторов . Обозначим через соответствующие образы векторов . По свойству изоморфизма система образов должна быть также линейно независима. Но это противоречит тому, что V_т – пространство размерности т < п ■.

Теорема 2. Пространство V_n (п > 1) над числовым полем Р иэоморфно пространству n-мерных строк (столбцов) над тем же полем Р.

Доказательство. Мы уже знаем, что в n-мерном пространстве V_n должен существовать по меньшей мере один базис из n векторов. Пусть таким базисом будет система векторов . Возьмем из V_n произвольный вектор и поставим ему в соответствие координатную строку при базисе . Пусть еще один вектор из V_п. Очевидно, образом у будет координатная строка . В силу единственности выражения вектора через базис равенство х = у тогда и только тогда имеет место, когда , т. е. когда равны образы х' и у'. Следовательно, различные векторы пространства V'_n должны иметь при введенном нами соответствии различные образы. Далее, если – п-мерная строка с произвольным набором чисел из поля Р, то можно всегда указать такой вектор х пространства V_n, для которого строка будет образом, а -именно это будет вектор .

Складывая векторы и , получаем, что и мы видим, что образом суммы является строка . Но по правилу сложения матриц . Следовательно, , т. е. образ суммы оказался равным сумме образов.

Наконец, умножая вектор на произвольное число α из поля Р, получаем, что . Отсюда образом вектора является строка ). Но по правилу умножения матрицы на число . Следовательно, (ах)' =αх', т.е. образ произведения вектора на число из поля Р оказался равным произведению образа этого вектора на то же самое число.

Аналогично обнаруживается изоморфизм пространства V_n с пространством n-мерных столбцов над полем Р ■.

Из только что доказанной теоремы сразу вытекает следующая важная теорема.

Теорема 3. Два линейных пространства над числовым полем Р одинаковой размерности п (п > 1) изоморфны.

Доказательство. Каждое из этих двух пространств по предыдущей теореме изоморфно с одним и тем же пространством R_n – n-мерных строк над полем Р. Отсюда, пользуясь свойствами симметрии и транзитивности изоморфного отображения, получаем, что эти два пространства должны быть изоморфны:

■.

Два нулевых пространства над полем Р также изоморфны, а именно: поставим в соответствие нулевому вектору одного из нулевых пространств нулевой вектор другого нулевого пространства; получим, очевидно, изоморфное соответствие.