3.Конечномерное пространство

Определение: Назовем линейное пространство V над числовым полем Р n-мерным, а число п – размерностью пространства V, если в V существует по меньше мере одна линейно независимая система п векторов и всякая система из большего числа векторов уже линейно зависима. Мы будем n -мерное пространство обозначать через и иногда будем называть его конечномерным.

Если в пространстве V можно найти линейно независимую систему, состоящую из любого числа векторов, то V называется бесконечномерным.

Пример 1. Пространство n-мерных строк над числовым полем Р является n-мерным.

В самом деле, возьмем произвольную систему s векторов этого пространства, :

,

Матрица А размера , строками которой являются векторы , имеет, очевидно, ранг . Следовательно, s строк матрицы А линейно зависимы, т. е. система векторов линейно зависима. Легко видеть далее, что система п векторов , , …, уже линейно независима.

В дальнейшем пространство n-мерных строк над полем Р будет обозначаться через .

Пример 2. Пространство всех многочленов от х над числовым полем Р бесконечномерно.

В самом деле, если для некоторых чисел из Р имеет место равенство , то согласно определению равенства двух многочленов получается, что , т. е, система векторов 1, х, . . . , х^п рассматриваемого пространства при любом п линейно независима.

Определение: Назовем базисом n-мерного пространства V_n такую конечную линейно независимую систему векторов , через которую линейно выражается любой вектор х пространства V_n:

где — числа из поля Р. Мы будем эту систему рассматривать как упорядоченную, т. е. два базиса, отличающиеся лишь порядком следования векторов, будем считать различными.

Теорема 1: В п - мерном пространстве V всегда существует по меньшей мере один базис, а именно всякая линейно независимая система п векторов образует базис V_n.

Доказательство: В самом деле, пусть — какая-нибудь линейно независимая система п векторов. Присоединяя к ней произвольный вектор х, получим систему п + 1 векторов , т. е. линейно зависимую систему: , где – числа из поля Р, среди которых по меньшей мере одно отлично от нуля. Если бы число . равнялось нулю, то получилось бы равенство с ненулевым набором чисел что противоречит линейной независимости системы . Следовательно, , и вектор x: линейно выражается через систему векторов , т. е. эта система векторов образует базис пространства V_n. ■.

Нулевое пространство (т. е. линейное пространство, состоящее из одного нулевого вектора) не является n-мерным, так как в нем не существует конечной линейно независимой системы векторов. Но этому пространству мы будем приписывать размерность, равную нулю.

Теорема 2. Любой вектор n-мерного пространства V_n выражается через базис единственным образом.

Доказательство: Пусть вектор x имеет два выражения через базис: и . Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем . В силу линейной независимости базиса отсюда следует, что или , i= 1,2, ... ,k ■.

Коэффициенты линейного выражения вектора х через базис называются координатами вектора х (в данном базисе), и, таким образом, мы можем каждому вектору х пространства V_n поставить во взаимно однозначное соответствие k-мерную строку или k-мерный столбец его координат, так называемую координатную строку или координатный столбец.

Пользуясь правилом умножения прямоугольных матриц, можно выражение вектора х через базис записать в матричной форме, а именно в виде

,

здесь элементами однострочной матрицы являются векторы базиса.

Можно привести самые разнообразные примеры линейных пространств над данным полем Р одинаковой размерности, но все они в отношении свойств алгебраических операций ничем не будут друг от друга отличаться,. Это утверждение мы сформулируем ниже более точно, когда познакомимся с понятием изоморфизма линейных пространств.