Примеры линейных пространств:

Множество квадратных матриц n-го порядка с элементами из поля . комплексных чисел образуют линейное пространство над полем . относительно операций сложения матриц и умножения матрицы па число.
Множество прямоугольных матриц размера с комплексными элементами также образуют линейное пространство над полем комплексных чисел К относительно тех же операций, причем роль 0 играет здесь прямоугольная матрица, у которой все элементы равны нулю.
Множество многочленов от х степени над числовым полем Р с установленными в нем обычными операциями сложения многочленов и умножения многочлена на число образует, как нетрудно проверить, линейное пространство над Р.
Точно так же образует линейное пространство над числовым полем Р множество всех (т. е. без ограничения степени) многочленов от х над Р с теми же операциями сложения многочленов и умножения многочлена на число.
Напротив, множество многочленов от х одной и той же степени над числовым полем Р с теми же операциями, что и в предыдущем примере, не образует линейного пространства над Р, так как сумма двух многочленов степени п может оказаться многочленом меньшей степени.
Множество вещественных функций вещественноой переменной х, непрерывных на отрезке [а, b], с установленными на нем обычными операциями сложения функций и умножения функции на вещественное число образует линейное пространство над полем вещественных чисел .

Множество n-мерных строк (т. е. однострочных матриц, состоящих из n чисел) с элементами , принадлежащими некоторому числовому полю P, образует линейное пространство над полем Р относительно операций сложения матриц и умножения матрицы на число. Это так называемое пространство п-мерных строк над полем Р. Аналогично множество n-мерных столбцов с элементами , принадлежащими некоторому числовому полю P, образует линейное пространство над полем Р относительно тех же операций, так называемое пространство n-мерных столбцов над Р.

Рассмотрим в трехмерном пространстве множество геометрических векторов (направленных отрезков) с одним и тем же началом О (0, 0, 0). В качестве операций рассмотрим сложение векторов по правилу параллелограмма и умножение направленного отрезка на число. В число элементов рассматриваемого множества включается и точка О. Легко убедиться, что относительно этих операций трехмерное пространство векторов образует линейное пространство над полем вещественных чисел.

В дальнейшем линейное пространство над полем вещественных чисел будет коротко называться вещественным линейным пространством, а линейное пространство над полем комплексных чисел – комплексным линейным пространством.

Отметим некоторые простейшие следствия, вытекающие из определения линейного пространства.

В сумме нескольких векторов можно слагаемые произвольным образом объединять в скобки и произвольным образом менять порядок следования слагаемых, сумма от этого не изменяется.
В линейном пространстве существует только один нулевой вектор.

Доказательство: Докажем «от противного». Пусть наряду с существует , тогда , с другой стороны ■ (черный квадрат – квадрат Халмоша, в дальнейшем будет обозначать «что и требовалось доказать»).

Для всякого вектора а существует только один противоположный вектор – а.

Доказательство: Докажем «от противного». Пусть существует два противоположных элемента: и , т.е. и . Рассмотрим , с другой стороны , ■.

Из аксиом 1.-4. следует существование и единственность разности: .

Доказательство: В линейном пространстве V уравнение однозначно разрешимо для любых векторов а и b. Обозначим единственное решение этого уравнения через – разность векторов а и b. Действительно, есть решение уравнения , т.к. . Единственность решения: если — какое-нибудь решение уравнения , то прибавляя к обеим частям этого равенства противоположный вектор , получаем: , , , ■.