8.Кольцо линейных преобразований

Введем операции сложения и умножения линейных преобразований пространства .

1. Возьмем два линейных преобразования и пространства и назовем их суммой такое преобразование , которое характеризуется равенством . Иными словами, – преобразование, при котором образом произвольного вектора х является сумма образов и , получающихся при преобразованиях и .

Покажем, что преобразование – линейно. Возьмем еще один произвольный вектор у и число :

1.

;

2.

то есть удовлетворяются свойства линейности.

Обозначим, далее, через А и В матрицы этих линейных преобразований в базисе и исследуем матрицу С – сумму .

Согласно определению матрицы линейного преобразования:

(1)

(2)

. (3)

С другой стороны, пользуясь определением суммы линейных преобразований, получаем:

.

Отсюда, пользуясь равенствами (1) и (2), находим, что

,

или, окончательно:

Сравнивая последнее равенство с равенством (3), видим, что С = А+В.

2. Назовем произведением линейных преобразований и «риф пространства такое преобразование пространства , которое характеризуется равенством , т. е. преобразование, которое получается в результате последовательного применения к произвольному вектору х преобразований и .

Покажем, что преобразование также является линейным. В самом деле, пользуясь определением произведения линейных преобразований и линейностью и , получаем:

;

.

Посмотрим, что можно сказать о матрице D произведения в базисе . Имеем, с одной стороны, что

(4)

С другой стороны, согласно определению произведения линейных преобразований:

.

Сравнивая это равенство с равенством (4), получаем , откуда .

Итак, мы можем теперь сказать, что во множестве Q всех линейных преобразований пространства определены операции сложения и умножения, причем введенное в ранее взаимно однозначное соответствие между множеством Q и множеством М всех квадратных матриц n-го порядка является изоморфным: если А и В – матрицы произвольных линейных преобразований и в некотором базисе пространства , то сумма + задается в том же базисе суммой А + В, а произведение задается в том же базисе произведением АВ.

Так как множество М относительно операций сложения и умножения матриц образует кольцо, то в силу изоморфизма отсюда следует, что множество Q всех линейных преобразований пространства также образует кольцо относительно операций сложения и умножения линейных преобразований.

Рассмотрим еще одну операцию — умножение линейного преобразования пространства на число . Эту операцию мы определяем с помощью равенства , где x – произвольный вектор.

Нетрудно убедиться, что преобразование линейно:

.

Найдем матрицу G линейного преобразования в том базисе , в котором была задана матрица А преобразования . Имеем:

(5)

(6)

Но в силу определения произведения :

.

Заменяем его выражением из равенства (5);

.

Обращаясь к равенству (6), видим, что , т. е. матрица произведения равна произведению матрицы линейного преобразования на число .

Нулем кольца Q является нулевое преобразование ; оно, очевидно, задается в произвольном базисе нулевой квадратной матрицей n-го порядка. Тождественное преобразование является единицей кольца Q и, очевидно, задается в произвольном базисе единичной матрицей n -го порядка. Но кроме единицы в кольце Q, для целого ряда линейных преобразований существуют так называемые обратные преобразования.