Простейшие свойства линейного преобразования

1. Линейное преобразование A пространства V переводит всякую линейную комбинацию векторов в линейную комбинацию A A A их образов с теми же коэффициентами из поля Р.

Доказательство. Сперва убедимся в справедливости утверждения для случая k=2:

A A A A A

Теперь, предполагая, что утверждение доказано для k-1, где , докажем это для k векторов.

■.

2. Если A — линейное преобразование пространства V, то , , т. е. при линейном преобразовании A образом нулевою вектора является нулевой вектор, а образом противоположного вектора –х является вектор – противоположный образу .

Доказательство.

Так как A - линейное преобразование пространства V, то , откуда . Точно так же, рассматривая равенство , получаем: , но . Следовательно, ■.

3. Совокупность L всех образов векторов х линейного пространства V, получающихся при данном линейном преобразовании, есть некоторое подпространство.

Доказательство. Возьмем из L два произвольных вектора и и возьмем произвольное число α из поля Р. Достаточно убедиться, что и принадлежат L. Т.к. и являются образами некоторых векторов и , то и , т.е. и представляют собой образы векторов и , в силу чего и . принадлежат L ■.

До сих пор линейное пространство V предполагалось как конечномерным, так и бесконечномерным. Ограничиваясь теперь n-мерным линейным пространством V_n покажем, что линейное преобразование такого пространства тесно связано с квадратными матрицами n-го порядка и с линейными преобразованиями n неизвестных.

Пусть некоторый базис пространства V_n и A – линейное преобразование V_n. Образы A( ) векторов базиса, очевидно, должны выражаться через базис:

i = 1, 2, … , п,

где - число из поля Р. Составим квадратную матрицу n-го порядка:

столбцы которой являются координатными столбцами соответствующих образов векторов базиса. Эту матрицу А мы будем называть матрицей линейного преобразования A в данном базисе и будем также говорить, что линейное преобразование A в данном базисе задается матрицей А. Таким образом, при данном базисе каждому линейному преобразованию A пространства V_n соответствует однозначно определенная квадратная матрица А порядка п.

Покажем, что это соответствие является не только однозначным, но и взаимно однозначным. Предварительно докажем следующую теорему:

Теорема 1. Для произвольно заданной системы п векторов существует одно и только одно линейное преобразование A пространства V_n, переводящее векторы базиса соответственно в векторы .

Доказательство. Возьмем произвольный вектор

поставим ему в соответствие вектор обозначим это соответствие через A и покажем, что оно является линейным преобразованием пространства V_n. Прежде всего очевидно, что A есть преобразование V_n. Остается доказать, что преобразование A линейно.

Умножим вектор х на произвольное число α из поля P . Согласно введенному соответствию имеем

.

Возьмем еще один вектор . Образом этого вектора является, очевидно, . Составим сумму .

Отсюда получается, что

.

Итак, A — линейное преобразование пространства V_n. Покажем, что . Обратимся к равенству

= .

и положим при , тогда получим, что A , i = 1, 2, … , п.

Для завершения доказательства теоремы остается убедиться в единственности линейного преобразования A, переводящего каждый вектор базиса в соответствующий вектор . Пусть имеется еще одно линейное преобразование A’ пространства V_n, переводящее вектор в : = . Тогда для произвольного вектора х получаем, пользуясь свойством 1 линейного преобразования: , для любого вектора х, а это означает, что линейные преобразования A и A’ равны ■.

Теорема 2. Для всякой квадратной матрицы порядка п с элементами из поля Р существует одно и только одно такое линейное преобразование A пространства V_n, которое в данном базисе задается этой матрицей А.

Доказательство. Составим систему векторов , координатные столбцы которых являются соответствующими столбцами матрицы А: , где , .

На основании теоремы 1 мы можем построить линейное преобразование A пространства V_n, переводящее в : , , и такое преобразование будет единственным. Очевидно, что это линейное преобразование A будет задаваться матрицей А в базисе ■.

Итак, мы установили взаимно однозначное соответствие (при заданном базисе) между множеством Ω всех линейных преобразований пространства V_n и множеством М всех квадратных матриц n-го порядка с элементами из поля Р.

Пример. Рассмотрим двумерное пространство V₂ геометрических векторов на плоскости, исходящих из начала прямоугольной системы XOY. В качестве базиса возьмем векторы и с длиною, равной единице, лежащие соответственно на осях ОХ и OY и направленные в положительную сторону. Поставим в соответствие каждому вектору х его проекцию у на прямую, проходящую через начало О и образующую с осью ОХ угол в 60°. По свойствам проекции это преобразование является линейным. Найдем матрицу этого преобразования A в базисе и . Пользуясь некоторыми очевидными геометрическими соображениями, получаем, что конец вектора имеет своими координатами . Аналогичным образом находим, что конец вектора имеет своими координатами .

Следовательно,

,

откуда A в базисе задается матрицей

.

Посмотрим, как выражаются координаты образа через координаты прообраза х при линейном преобразовании A пространства V_n. Для этой цели введем следующее обозначение. Пусть

некоторая прямоугольная (в частности, квадратная) матрица, элементы которой уже не числа, а векторы пространства V_n . Мы будем через A(B) обозначать матрицу

элементы которой являются образами соответствующих элементов матрицы В при линейном преобразовании . Докажем следующую лемму.

Лемма. Если числовая матрица, состоящая из т строк, а В — вышеупомянутая «векторная» матрица из s строк и т столбцов, то

где — линейное преобразование пространства V_n.

Доказательство. Пользуясь правилом перемножения

матриц, получаем, что

Отсюда

.

что и требовалось доказать ■.

В силу самого определения матрицы А линейного преобразования мы можем написать, что

A (1)

где — базис V_n. Возьмем теперь произвольный вектор

.

Тогда для его образа A(х) получается на основании леммы, что

или, пользуясь равенством (1)

.

С другой стороны, обозначая координаты образа A(х) через имеем .

Откуда следует, что ,

(2)

т. е. координатный столбец образа , равен произведению матрицы А линейного преобразования A в данном базисе на координатный столбец прообраза х.

Из равенства (2) получается, что

, ,

т. е. линейное преобразование A пространства V_n вызывает линейное преобразование координат произвольного вектора x в координаты его образа , причем матрицей этого линейного преобразования координат является А.

Вообще говоря, при переходе к другому базису матрица линейного преобразования пространства V_n изменяется. Найдем, по какому закону изменяется при этом матрица линейного преобразования.

Пусть и — два каких-нибудь базиса пространства V_n, — матрица перехода от первого базиса ко второму, – матрица линейного преобразования A пространства V_n в первом базисе и — матрица того же линейного преобразования A в во втором базисе. Тогда имеют место следующие равенства:

(3)

A (4)

A (5)

Подставляя в обе части равенства (5) выражение из равенства (3), получаем:

A

или, пользуясь доказанной выше леммой:

A[ .

Умножим обе части последнего равенства справа на обратную матрицу :

A .

Сравнивая это равенство с равенством (4), получаем:

,

откуда и .

Две квадратные матрицы А и В порядка п называются подобными, если существует такая квадратная невырожденная матрица Т того же порядка, что . При этом обычно говорят, что матрица В получается путем трансформирования матрицы А с помощью матрицы Т.

Итак, при переходе к новому базису матрица А линейного преобразования A трансформируется с помощью матрицы Т перехода к новому базису.