
- •1.Определение линейного векторного пространства
- •Примеры линейных пространств:
- •Понятие подпространства
- •2.Линейная зависимость
- •3.Конечномерное пространство
- •Изоморфизм линейных пространств
- •4.Базис
- •Связь базиса и координат вектора в пространстве
- •Свойства матрицы перехода
- •Подпространства
- •5. Линейное преобразование пространства
- •Простейшие свойства линейного преобразования
- •6.Ядро линейного преобразования
- •7.Линейное многообразие (гиперплоскость)
- •8.Кольцо линейных преобразований
- •Обратные преобразования
- •Литература
- •Содержание
1.Определение линейного векторного пространства
Из курса аналитической геометрии известно, что любая точка плоскости (при заданной системе координат) определяется двумя координатами, т.е. упорядоченной парой двух вещественных чисел, аналогично и любой вектор на плоскости. Любая точка трёхмерного пространства определяется тремя координатами, а вектор, в пространстве, тремя компонентами. Однако в геометрии, механике и физике приходится изучать такие объекты, для задания которых недостаточно трёх вещественных чисел.
Рассмотрим совокупность шаров в трёхмерном пространстве. Для того, чтобы шар был полностью определён нужно задать координаты его центра и радиус, т.е. задать упорядоченный набор четырёх вещественных чисел, из которых последнее – R – может принимать только положительные значения.
Рассмотрим различные положения твёрдого тела в пространстве. Для его определения нужны: - координаты центра тяжести (3 числа); - направление некоторой фиксирующей оси, проходящей через центр тяжести (2 числа – 2 из 3-х направляющих косинусов) и угол поворота вокруг этой оси. Т.е. система из 6 вещественных чисел.
Эти примеры указывают на целесообразность рассмотрения совокупности всевозможных упорядоченных систем из n совокупностей вещественных чисел.
Введём некоторые понятия.
Упорядоченный набор n чисел
,
называется n-мерным вектором; где
,
(
)
– координаты вектора
.
Целесообразно дать «бескоординатное»
определение векторного пространства,
не требующее задания векторов
упорядоченными наборами чисел. Такое
определение – аксиоматическое, в
нем ничего не будет сказано о свойствах
отдельного вектора, но будут перечислены
свойства, которыми должны обладать
операции над векторами.
Пусть Р
– некоторое числовое
поле (оно, в частности, может быть полем
вещественных или полем комплексных
чисел) и V
– некоторое множество, природа элементов
которого не важна. Условимся элементы
множества V
обозначать малыми
латинскими буквами а,
b,
c,...,
а числа из Р
– малыми греческими
буквами
.
Пусть во множестве
определены:
1) операция сложения, ставящая каждой паре элементов а, b из V в соответствие единственный элемент a+b того же множества V, называемый их суммой;
2) операция умножения на
вещественное число, ставящая в однозначное
соответствие числу
из Р
и элементу
а
из V
элемент
того же множества V.
Определение: Элементы множества V будут называться векторами, а само V – вещественным линейным (или векторным) пространством, если для указанных операций (1, 2) выполняются следующие свойства, называемые аксиомами линейного пространства:
I. Свойства сложения:
коммутативность: а + b = b + а, где а, b произвольные элементы множества V;
ассоциативность
для любых элементов a, b, c рассматриваемого множества V;
в множестве V существует по меньшей мере один такой элемент 0, называемый нулевым, что
для любого а из V;
для всякого
данного множества существует по меньшей мере один такой элемент
, называемый противоположным элементом к а, что
.
II. Свойства умножения:
дистрибутивность относительно сложения чисел: если
– числа из P и а, b произвольные элементы V, то
,
дистрибутивность относительно сложения векторов:
.
ассоциативность относительно умножения чисел: если – числа из числового поля P и а – произвольный элемент рассматриваемого множества V, то
для любого элемента и для числа 1 из P справедливо равенство
.