Вопрос 8

Скалярное произведение векторов – это число , равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Свойства :

1. Комунитативность

2. Ассоциативность относительно векторов

3. Вектор а * на альфа * вектор b = альфа*(вектор а* вектор b)

Векторное произведение – это вектор , длина которого равна произведению длин векторов на синус угла между ними.

Формула выражается через определитель.

Свойства

1. Вектор а * вектор б = - вектор б * вектор а

2. Вектор а * (вектор б + вектов с ) = а*б+a*c

3. [вектор а , альфа*вектор б] = альфа[вектор а, вектор б]

Вопрос 9

Числовое поле (Р) – это множество на котором определены две операции + и * на число. Обе операции комунитативны , ассоциативны и связаны знаками дистрибутивности . каждый элемент имеет противоположный .

Q – поле рациональных чисел

R – поле действительных чисел

С – поле комплексных чисел

n-мерными векторами называют упорядоченный набор из n действительных чисел.

n-мерное векторное пространство – это множество векторов с действительными компонентами , в котором определена операция + и * вектора на число

остальное в вопросе 7 и 8

Вопрос 10

Пусть в векторном пространстве В заданным над полем Б выбрано конечное число произведений различных векторов (а1 , а2…. Аn) , тогда говорят , что векторы образуют систему векторов.

Линейная комбинация – некоторая система и некоторый вектор b.

Линейная оболочка – определенное некоторое множество будущих пределов В , когда зафиксирована некоторая система а с коэффициентами альфа1 , альфа2 …. Альфаn.

Определение линейной зависимости системы векторов

Система векторов A₁, A₂,...,A_n называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор чисел λ_1, λ₂,...,λ_n,при котором линейная комбинация векторов λ₁*A₁+λ₂*A₂+...+λ_n*A_n равна нулевому вектору, то есть система уравнений: A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n =Θ имеет ненулевое решение. Набор чисел λ_1, λ₂,...,λ_n является ненулевым, если хотя бы одно из чисел λ_1, λ₂,...,λ_n отлично от нуля.

Определение линейной независимости системы векторов

Система векторов A₁, A₂,...,A_n называется линейно независимой, если линейная комбинация этих векторовλ₁*A₁+λ₂*A₂+...+λ_n*A_n равна нулевому вектору только при нулевом наборе чисел λ_1, λ₂,...,λ_n, то есть система уравнений: A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n =Θ имеет единственное нулевое решение.

Лемма 1 Всякая система включающая линейно-независимые коэффициенты , линейно-независима.

Лемма 2 Если система (a) = a1 , a2 …. an линейно-независима и b принадлежит линейной оболочки b=альфа1а1+альфа2а2+ альфаn an , где коэффициент определяется единственным способом

Теорема

Если В пространстве B имеются 2 линейно-независимых системы <a> :a1 ; a2; ak <b> : b1 ; b2 …. Bk то тогда в системе а можно найти l таких векторов замена которых на векторы системы b даст линейно-независимую систему

Вопрос 11

Две системы пространства называют эквивалентными , если любой вектор одной системы может быть выражен вектором другой.

Лемма : Если две системы эквивалентны , то их линейная оболочка совпадает

Теорема о эквивалентных системах

Если даны 2 эквивалентные системы <a>: a1;a2;….an , <b>:b1;b2…..bk и система <a> линейно-независима то n <= k

Следствия :

1) эквивалентные линейно-независимые системы состоят из одного и того же числа векторов

2) Какова бы не была система ненулевых векторов в ней существует эквивалентная линейно-независимая подсистема

Систему векторов <a> называют базой системы векторов <b> если :

1)Системы <a> <b> эквивалентны

2)Система <a> линейно-независима

Число векторов в базе называют рангом системы.

Элементарные преобразования , неменяющие ранга системы :

1. Перенумерование

2. Умножение на любой вектор числа не равный 0

3. К любому вектору прибавить линейную комбинацию остальных

4. Удаление из системы вектора любого компонента